Le premier sch´ema, dit sch´ema explicite, s’´ecrit Un+1−Un ∆t =−AUn, (2) et le deuxi`eme sch´ema, dit sch´ema implicite, s’´ecrit Un+1−Un ∆t =−AUn+1

TD1 Analyse Num´erique et Optimisation H. Haddar Introduction aux EDP et aux diff´erences finies

Exercice 1. Sch´emas d’Euler pour une EDO.

SoitA∈R^N×N une matrice sym´etrique positive. On consid`ere l’´equation diff´erentielle

U⁰(t) =−AU(t) (1)

avec U(0) = U₀ ∈ R^N. On cherche `a ´etudier les propri´et´es de deux sch´emas aux diff´erences finis per- mettant de r´esoudre num´eriquement cette ´equation, c.`a.d. de calculer une approximation Uⁿ de U(n∆t) o`u ∆t d´esigne le pas de discr´etisation en temps.

Le premier sch´ema, dit sch´ema explicite, s’´ecrit Uⁿ⁺¹−Uⁿ

∆t =−AUⁿ, (2)

et le deuxi`eme sch´ema, dit sch´ema implicite, s’´ecrit Uⁿ⁺¹−Uⁿ

∆t =−AUⁿ⁺¹. (3)

1.1 - Montrer que les deux sch´emas sont consistants d’ordre 1.

1.2 - Quelle est le sch´ema le plus rapide ?

1.3 - Montrer que la solution de (1) v´erifiekU(t)k ≤ kU₀k.

Un sch´ema d’approximation de l’´equation (1) est dit inconditionnellement stable par rapport `aAet ∆ts’il existe une constanteKtelle que pour toutAet tout

∆t >0,

kUⁿk ≤KkU⁰k pour toutn≥0. (4) 1.4 - Les sch´emas (2) et (3) sont-ils inconditionnel- lement stables ?

1.5 - Montrer que le sch´ema explicite (2) est condi- tionnellement stable, c’est `a dire que sous une cer- taine condition portant sur ∆t et A, il existe une constanteK telle que (4) soit v´erifi´e.

1.6 - Montrer que les sch´emas (2) et (3) s’´ecrivent sous la forme Uⁿ⁺¹ = B(A,∆t)Uⁿ. Que signifie la stabilit´e pour la matriceB(A,∆t) ?

1.7 - D´eduire de la consistance et de la stabilit´e la convergence des deux sch´emas avec une vitesse de convergence d’ordre 1, c’est `a dire que

sup

n∆t<T

|Uⁿ−U(n∆t)| ≤C(T, U)∆t.

Exercice 2. Sur l’´equation de la chaleur 1D.

On s’int´eresse `au(x, t) solution de :















∂u

∂t −∂²u

∂x² = 0, x∈]0,1[, t >0, u(x,0) =u0(x)

u(0, t) =u(1, t) et ∂u

∂x(0, t) =∂u

∂x(1, t).

(5)

2.1 - Calculer la solution explicite de (5) sous la forme d’un d´eveloppement en s´erie de Fourier. En d´eduire les estimations de stabilit´e suivantes :







ku(., t)k_L2 ≤ ku0k_L2 , ∀t≥0,

||u(., t)||L^∞ ≤ q

1+e^−2(2π)2t

1−e^−2(2π)2t ||u0||L², ∀t >0.

2.2 - Expliquer, en proc´edant comme `a la question pr´ec´edente, pourquoi le probl`eme :















∂u

∂t +∂²u

∂x² = 0, x∈]0,1[, t >0, u(x,0) =u₀(x),

u(0, t) =u(1, t) et ∂u

∂x(0, t) =∂u

∂x(1, t), (6)

est mal pos´e. Plus pr´ecis´ement, on montrera qu’on ne peut avoir aucune estimation du type :

ku(., t)k_L2 ≤C(t)

M

X

m=0

kd^mu0

dx^m k_L2 . o`uC(t) serait ind´ependante deu0.

1

2.3 - On revient `a la solution du probl`eme (5) que l’on souhaite approcher par diff´erences finis. On pose x_j=j∆x, avec ∆x= 1/N et N d´esignant le nombre de points de discr´etisation de de l’intervalle [0,1], et on note paru_j(t) une approximation deu(x_j, t). Mon- trer que le sch´ema aux diff´erences finis suivant, cor- repondant `a la semi-discr´etisation en espace de (5),

u⁰_j(t)−u_j+1(t)−2u_j(t) +u_j−1(t)

∆x² = 0, 1≤j≤N,

u_j(0) =u₀(x_j),

u₀(t) =u_N(t) etu_N+1(t) =u₁(t),

est consistant d’ordre 2 en espace. Montrer que la r´esolution de ce syst`eme est ´equivalente `a la r´esolution d’une ´equation diff´erentielle sur R^N de la formeU⁰(t) =−AU(t). Donner l’expression deA.

2.4 - Calculer les valeurs propres deA(Indication : on cherchera des vecteurs propres de la forme u_j = e^iωxj).

2.5 - En vous inspirant de l’Exercice 1, proposer deux sch´emas num´eriques permettant de r´esoudre le syst`eme d’´equations de la question 2.3. Montrer que le sch´ema explicite est stable sous la condition

∆t≤∆x²/2.

Exercice 3. Principes du maximum discret et continu - Convergence L^∞. Soit Ω un ouvert born´e r´egulier deRⁿ de fronti`ere Γ.

On consid`ereusolution du probl`eme : ( −∆u+u=f dans Ω,

u= 0 sur Γ. (7)

On admettra le r´esultat suivant :

f ∈C^m( ¯Ω) =⇒u∈C^m+2( ¯Ω), (8) pour tout entier m ≥ 1, avec l’estimation (la constanteC d´ependant dem) :

kuk_Cm+2( ¯Ω)≤Ckfk_Cm( ¯Ω) , (kfk_Cm( ¯Ω)= max_|α|≤m sup_x∈Ω¯ |D^αf(x)|)).

3.1 - En supposant que f ∈ C¹( ¯Ω), d´emontrer le principe du maximum : pour toutx∈Ω,

min (0,min

y∈Ω¯

f(y))≤u(x)≤max (0,max

y∈Ω¯

f(y)) En d´eduire l’unicit´e de la solution.

3.2 - On suppose maintenant que Ω est le carr´e ]0,1[×]0,1[ auquel cas (8) reste vrai si on suppose f

`

a support compact dans Ω. On consid`ere un maillage uniforme de pas h de ¯Ω, M_ij d´esignant le point de coordonn´ees (ih, jh) 0≤i, j≤N, h= _N¹, N ∈N^∗

. On approche l’´equation (7) par le sch´ema aux diff´erences finies :

−u_i+1,j+u_i−1,j+u_i,j+1+u_i,j−1−4u_i,j h²

+u_i,j=f_i,j, siM_i,j∈Ω,

u_i,j = 0, siM_i,j∈Γ,

(9)

o`u u<sub>i,j</sub> d´esigne une approximation de u(M<sub>i,j</sub>) et o`u f_i,j =f(M_i,j). Montrer que la recherche de la solu- tion approch´ee ´equivaut `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire dont on pr´ecisera la matrice.

3.3 - D´emontrer que si ui,j est solution de (9), alors :

min (0,min

i,j fi,j)≤ui,j≤max (0,max

i,j fi,j) En d´eduire l’existence et l’unicit´e de la solution du sch´ema (9).

3.4 - Nous d´esignons par u_h la solution de (9) et posons :

ku−u_hk∞= max

i,j |u(M_i,j)−u_i,j |

Dans le cas o`u f ∈ C²( ¯Ω), ´etablir une estimation d’erreur pour k u−u_h k_∞ en fonction de h et k f k_C2( ¯Ω).

3.5 - G´en´eraliser les r´esultats des questions 3.2 `a 3.3 `a l’exemple suivant :







−div(a(x)∇u) +q(x)u=f dans Ω

u= 0 sur Γ

(10)

o`ua(x) et q(x) d´esignent des fonctions r´eguli`eres sa- tisfaisant en outre :







0< a_∗≤a(x)≤a^∗<+∞ ∀x∈Ω¯ 0< q_∗≤q(x)≤q^∗<+∞ ∀x∈Ω¯ (On construira en particulier un sch´ema d’approxi- mation par diff´erences finies pour (10)).

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