DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
R´ esolution d’une ´ equation diff´ erentielle
1Une primitive def :x7→ sin(x)
2−cos(x) estx7→ln(2−cos(x)).
On en d´eduit queRπ2
0
sin(t)
2−cos(t)dt= ln(2).
Soit l’´equation diff´erentielle (E) :y0(x) + sin(x)
2−cos(x)y(x) = 2 sin(x).
2La solution g´en´erale de (H) estx7→ C
2−cos(x), o`uC d´ecritR. 3
a En raisonnant par ´equivalences (ou par analyse-synth`ese), on trouve la fonctionx7→2−cos(x) pour solution particuli`ere de (E) sous la forme souhait´ee.
b La solution g´en´erale de (E) surRestx7→2−cos(x) + C
2−cos(x), o`u Cd´ecritR. 4La solution au probl`eme de Cauchy consid´er´e est simplementh :x7→2−cos(x).
