Universit´e Lille I L3 Maths
2011-2012 M-52
7 - APPLICATIONS DIFFERENTIABLES
Exercice 1
a) Rappeler la d´efinition de diff´erentiabilit´e.
b) Soitf :E→F une application entre espaces vectoriels norm´es. Montrer que sif est diff´erentiable en a∈E, alors pour toutv∈E, f(a+tv)−f(a)
t −−−−−−−→
t∈R∗, t→0 Df(a).
c) On consid`eref : R2 → Rd´efinie parf(0,0) = 0 et, si (x, y) 6= (0,0), f(x, y) = x4x+y3y2. Montrer que poura= (0,0), f(a+tv)−f(a)
t −−−−−−−→
t∈R∗, t→0 0 pour toutv∈E, mais quef n’est pas diff´erentiable ena.
Exercice 2
Dans un espace vectorielEmuni d’une normeN, on consid`ere l’applicationx7→N(x). En raisonnant par l’absurde, montrer queN n’est pas diff´erentiable en 0 (on pourra regarder ses d´eriv´ees directionnelles).
Exercice 3
Etudier la diff´erentiabilit´e des applications suivantes d´efinies surRn[X] : f :P 7→
Z 1 0
(P3(t)−P2(t))dt et g:P 7→P′−P2
Exercice 4
Soit (E,h·|·i) un espace pr´ehilbertien surR, on note k · kla norme associ´ee au produit scalaire.
a) Montrer queg:x7→ kxk2 est diff´erentiable surE et calculer sa diff´erentielle.
b) En d´eduire que f : x7→ kxk est diff´erentiable en tout point de E\ {0}, et calculer sa diff´erentielle.
D´ecrire Ker (Df(x)) pour toutx6= 0.
Exercice 5
Soita∈Rn etf :Rn\{a} →Rn d´efinie parf(x) = ||x−a||a−x2, o`uk.kest la norme euclidienne.
a) D´eterminerDf(x) pour toutx∈Rn\{a}, par les deux m´ethodes suivantes :
– en utilisant la formule de diff´erentiation du produit/quotient de deux applications diff´erentiables ; – `a partir d’un d´eveloppement limit´e def(x+h).
b) Soit S : h 7→ kx−ak2Df(x).h. Calculer S(x−a), puis S(v) pour v orthogonal `a x−a. Comment appelle-t-onS?
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Exercice 6
a) Pourk∈N, on consid`ere l’applicationA7→Ak d´efinie surMn(K). Montrer qu’elle est diff´erentiable et calculer sa diff´erentielle.
b) Soit f : A 7→ detA l’application qui associe `a une matrice A son d´eterminant. Montrer qu’elle est diff´erentiable et en d´eduire que pour toutA∈ Mn(K),
∀H ∈ Mn(K), Df(A)·H = lim
t→0
det(A+tH)−det(A) t
CalculerDf(I), puisDf(A) pourA∈GLn(K). En d´eduire, en utilisant un argument de densit´e, une expression deDf(A) pour toutA∈ Mn(K).
Exercice 7
Soitf une application diff´erentiable deR2 dans lui-mˆeme, propre (i.e. ||f(x)|| −−−−−−→
kxk→+∞ +∞), telle que pour toutx∈R2 Df(x) soit injective. On va montrer quef est surjective.
Soita∈R2et g(x) =||f(x)−a||2, o`uk.kest la norme euclidienne.
a) Montrer queg(x)−−−−−−→
kxk→+∞ +∞.
b) En d´eduire qu’il existeM >0 tel que Inf{g(x)|x∈R2}= Inf{g(x)|x∈R2, kxk ≤M}. Montrer que gatteint sa borne inf´erieure en un point x0 deR2.
c) Montrer quegest diff´erentiable et en d´eduire queDg(x0) = 0. Calculer explicitement la diff´erentielle Dget conclure.
Exercice 8
Soit (E,h·|·i) un espace pr´ehilbertien r´eel. Soitu∈ Lc(E) un endomorphisme continu que l’on suppose sym´etrique :∀x, y, hu(x)|yi=hx|u(y)i.
a) Montrer que l’application x∈E 7→ hu(x)|xi est diff´erentiable surE et calculer sa diff´erentielle. En d´eduire que l’applicationx7→ kxk2est diff´erentiable.
b) Pourx∈E, on poseφ(x) =hu(x)|xihx|xi . Montrer queφest diff´erentiable. Calculer ensuiteDφ.
c) Soita∈E\ {0}. Montrer queDφ(a) = 0 si et seulement si aest vecteur propre deu.
Exercice 9
SoitF un ferm´e de Rn muni de la norme euclidienne, et f :Rn →Rd´efinie par f(x) = dist(x, F). On rappelle quef est 1-lipschitzienne, et que pour chaquexil existey∈F tel que f(x) =kx−yk.
a) On suppose quef est diff´erentiable enx /∈F. Montrer que||Df(x)|| ≤1.
b) On consid`ere la fonctionϕ:t7→f((1−t)x+ty) d´efinie sur [0; 1]. En calculantϕ′(0) de deux fa¸cons, montrer queDf(x).||x−y||x−y = 1 et que||Df(x)|| ≤1.
c) En d´eduire quey est unique.
Exercice 10
Soitg:R→Rune application de classeC2 etF :R2→Rd´efinie par F(x, y) = g(y)−g(x)
y−x six6=y, F(x, x) =g′(x).
Montrer que pour tout (x, y),F(x, y) =R1
0 g′((1−t)x+ty) dt. En d´eduire queF est de classeC1en tout point deR2et calculer sa diff´erentielle.
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