Montrer queB est de classeC∞ et d´eterminer les diff´erentiellesDkB

Universit´e Lille I L3 Maths

2011-2012 M-52

11 - DIFFERENTIELLES D’ORDRE SUPERIEUR

Exercice 1

Soit f d´efinie par f(x) = x1−2x2 + 3x3+x²1 +x2x3−x³3 pour x = (x1, x2, x3) ∈ R³. D´eterminer l’expression de D²f(0) `a partir de la formule de Taylor. Comparer D²f(0) et la forme quadratique donn´ee matriciellement par la matrice hessienne

∂²f

∂xi∂xj(0)

i,j.

Exercice 2

SoientE1, E2 etF des espaces norm´es etB :E1×E2→F une application bilin´eaire continue. Montrer queB est de classeC^∞ et d´eterminer les diff´erentiellesD^kB.

Exercice 3

SoientE et F des espaces de Banach etf :E→F une application de classeC². 1. Soith∈E etφh:E→F l’application d´efinie parφh(x) =Df(x)(h). Justifier que

D²f(a)(k, h) =Dφh(a)(k) pour tout k∈E .

2. Supposons que, pour toust∈Retx∈E,f(tx) =t²f(x). Montrer queD²f(0)(x, x) = 2f(x) pour tout x∈E.

Exercice 4

1. D´eterminer les extrema (locaux et/ou globaux) de : (a) f(x, y) =x²−y², (x, y)∈R².

(b) f(x, y) =x³−y³, (x, y)∈R². (c) f(x, y) =x³+y³−3xy, (x, y)∈R². (d) f(x, y) =x²+y²−2xy+ 1, (x, y)∈R².

2. Discuter, suivant les valeurs du param`etre r´eelλ, la nature des extrema de la fonction f(x, y) =y(x²+y²−2λy).

3. Soit r, s, tdes r´eels et qla forme quadratique sur R² d´efinie par q(v) =rv₁²+ 2sv1v2+tv₂² pour v= (v1, v2). Montrer que

(a) qest d´efinie positive si et seulement sirt−s²>0 etr >0 ; (b) qest d´efinie n´egative si et seulement sirt−s²>0 etr <0.

1

Exercice 5

Etudier les extrema (globaux) des fonctions suivantes surR³: f(x, y, z) =1

2x²+xyz−z+y ; g(x, y, z) =x³+ 3xy²+ 3z²+ 3xy

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, d´eterminer les points critiques de f puis les points critiques de f|M o`u M =h⁻¹({0}) :

1. f(x, y, z) =x²+y²−z² eth(x, y, z) =x+y+z−1 ;

2. f(x, y) =e^x+e^y eth(x, y, z) =x³+ 3x²+ 3x−y³+ 3y²−3y+ 5 ; 3. f(x, y, z) =x+ 2zeth(x, y, z) = (x²+y²−z, x+y+z−₁₆¹) ; 4. f(x, y, z) = cos(xyz) eth(x, y, z) = (xy−1, y³−z²).

Exercice 7

Soitf(x, y, z) = (x+y+z, x²+y²+z²−1) etg(x, y, z) = 5x+y−3z. On noteM =f⁻¹({0}). Montrer par un argument topologique queg|M admet un maximum global et un minimum global. En d´eduire les extrema globaux deg|M.

Exercice 8

D´eterminer les extrema de la fonction f(x, y, z) = 2x+ 3y+ 2z sur l’intersection du plan d’´equation x+z= 1 avec le cylindre d’´equationx²+y²= 2 dansR³.

Exercice 9

SoitS:={(x, y.,)∈R³|xyz= 1}.

1. Montrer queS est une sous-vari´et´e de dimension 2 deR³.

2. Montrer queS poss`ede 4 composantes connexes hom´eomorphes `aR².

On consid`ere la fonctionf(x, y, z) =xy+yz+zx. On noteS+la composante connexe deS `a laquelle le point (1,1,1) appartient.

1. Montrer que la fonctionf restreinte `aS+ est propre.

2. Montrer quef poss`ede un seul point critique sur la surfaceS+. En d´eduire que f restreinte `aS+

atteint sa plus petite valeur et d´eterminer cette valeur.

3. SoitS^′ une composante connexe deSdistincte deS+. Montrer que sup{f(x, y, z)|(x, y, z)∈S^′}= +∞ et inf{f(x, y, z)| (x, y, z)∈ S^′} = −∞. En d´eduire que l’ensemble Γ = f⁻¹(0)∩S^′ est non vide, ferm´e et non compact.

4. Montrer que Γ est une sous-vari´et´e de dimension 1 deR³.

5. V´erifier qu’il existe un seul point sur Γ qui minimise la distance de l’origine (0,0,0). En d´eduire que Γ est connexe, hom´eomorphe `a R.

Note : On pourra, pour la derni`ere affirmation, utiliser le th´eor`eme suivant : Une sous-vari´et´e connexe de dimension 1 deRⁿ est hom´eomorphe `a Rou au cercleS<sup>1</sup>. La preuve est un exercice bas´e sur les deux observations suivantes. Soit M une sous-vari´et´e connexe de dimension 1 de R<sup>n</sup>; si J1 et J2 sont deux ouverts deM hom´eomorphes `a deux intervallesI1 et I2 deRalors

– J1∩J2 poss`ede au plus deux composantes connexes ;

– siJ1∩J2 est connexeJ1∪J2 est hom´eomorphe `a un intervalle deR;

– siJ1∩J2poss`ede deux composantes connexes alorsJ1∪J2=M etM est hom´eomorphe au cercleS¹. (cf. J. Milnor :Topology from a differentiable view point.)

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