D´eterminer les solutions de l’´equation diff´erentielley0+a(t)y= 0

Universit´e de Lille L3 Math´ematiques

2017-2018 M-62

Introduction aux ´equations diff´erentielles

Equations diff´erentielles d’ordre 1 Exercice 1

a) Soit a : I → R une fonction continue, et A une primitive de a sur I. D´eterminer les solutions de l’´equation diff´erentielley⁰+a(t)y= 0.

b) Soit b :I →Rune fonction continue, et B une primitive de la fonction t7→e^A(t)b(t) sur I. V´erifier quet7→e^−A(t)B(t) est une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle

(E) y⁰+a(t)y=b(t)

c) Si φet ψsont deux solutions de (E), que peut-on dire deφ−ψ? En d´eduire toutes les solutions de (E).

d) Montrer que toutes les solutions de l’´equation diff´erentielley⁰+e^t2y= 0 sont d´efinies surR, et tendent vers 0 en +∞.

Exercice 2

R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : a) y⁰+ 2y=x²

b) y⁰+y= 2 sinx c) y⁰−y= (x+ 1)e^x d) y⁰+y=x−e^x+ cosx

e) y⁰−y=x^ke^x(k∈N) f) (x²+ 1)y⁰+ 2xy= 3x²+ 1 g) x(1 + ln²(x))y⁰+ 2(lnx)y= 1

Exercice 3

D´eterminer toutes les fonctionsf : [0; 1]→R, d´erivables, telles que

∀x∈[0; 1], f⁰(x) +f(x) =f(0) +f(1)

Exercice 4

D´eterminer les solutions des ´equations diff´erentielles suivantes, pr´eciser s’il existe des solutions globales, et tracer les courbes int´egrales :

a) y⁰= (x+y)² (on pourra poserz(x) =x+y(x)) b) y⁰=|y|

c) y⁰=−₂^√1_xy²

1

Exercice 5

a) Soitα∈R, etf :I→Rune fonction d´erivable v´erifiant∀t∈I, f⁰(t)≤αf(t). On fixet₀∈I. Montrer que

∀t≥t0, f(t)≤e^α(t−t0)f(t0)

∀t≤t0, f(t)≥e^α(t−t0)f(t0) b) Justifier que la solution du probl`eme de Cauchy

y⁰+y=−(cost)² y(0) = 1

existe, et est d´efinie surR. A l’aide de la question a), montrer que cette solution tend vers +∞en

−∞.

c) R´esoudre le probl`eme de Cauchy de la question pr´ec´edente.

Exercice 6 – Prolongement de classe C^k

Soit f une fonction de classe C^k sur ]a;b[, `a valeurs dans R. Montrer que f est prolongeable en une fonction de classeC^k sur [a;b[ si et seulement sif, f⁰, ..., f^(k) ont une limite finie ena⁺.

Exercice 7

Pour les ´equations diff´erentielles suivantes, d´eterminer les solutions sur Ret tracer leur graphe : a) y⁰+y= max(x,0)

b) x²y⁰−y= 0 c) xy⁰+y−1 = 0 d) y⁰=−p

|y|

Exercice 8

R´esoudre les syst`emes diff´erentielsX⁰(t) =AX(t) pour a) A=

−1 0

0 2

; b) A=

2 1 1 2

; c) A=

1 1 0 1

; d) A(t) =

t+ 3 2

−4 t−3

et tracer les portraits de phase correspondants.

Exercice 9

SoitA∈ M₃(R) une matrice non inversible, etX une solution du syst`eme diff´erentielX⁰=AX.

a) Montrer que les valeurs prises par la fonctionX sont incluses dans un hyperplan affine.

b) On prend

A=





0 −1 1

1 0 −1

−1 1 0





Sans r´esoudre le syst`eme, montrer queX prend ses valeurs dans l’intersection d’un plan affine et d’une sph`ere centr´ee en 0.

c) Dans le cas pr´ec´edent, calculerA³et exprimer sous forme matricielle la solution g´en´erale du syst`eme.

2

Equations diff´erentielles d’ordre 2 Exercice 10

On consid`ere l’´equation diff´erentielley⁰⁰−4y⁰+ 4y=d(x). Donner la forme g´en´erale des solutions quand a) d(x) =e^−2x

b) d(x) =e^2x c) d(x) = ch(2x)

Exercice 11

On consid`ere l’´equation diff´erentielley⁰⁰+y= 0.

a) L’´ecrire sous forme d’une ´equation diff´erentielleY⁰=A·Y. Qu’appelle-t-on condition initiale ? b) Calculer exp(tA) et v´erifier que l’on retrouve bien les solutions connues.

Exercice 12

R´esoudre surRles ´equations diff´erentielles suivantes : a) xy⁰⁰−(1 +x)y⁰+y= 1 (posery⁰−y=z)

b) 4xy⁰⁰+ 2y⁰−y= 0 (poserx=±t²)

Exercice 13

a) D´eterminer une ´equation diff´erentielle (E) lin´eaire d’ordre 2 dont les fonctions ϕ_α,β:x7→αe^x2+βe^−x2 (α, β∈R)

sont solutions sur ]0; +∞[ et ]− ∞; 0[.

b) R´esoudre (E) sur ]0; +∞[ et ]− ∞; 0[ (on pourra posert=x²).

c) En d´eduire que les fonctionsϕ_α,β sont exactement les solutions de (E) surR.

Exercice 14

SoitE l’ensemble des fonctions continues sur [0; 1] `a valeurs dansR. Pourf ∈E etx∈[0; 1], on pose T(f)(x) =

Z x 0

Z 1 t

f(u)du

dt

V´erifier queT est un endomorphisme deE, et d´eterminer ses ´el´ements propres.

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