D´eterminer l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle : y00+ 4y0 + 4y= 0

L1 PCST

S2, Math´ematiques

Examen - Session 2 - 22 juin 2018

Dur´ee : 1h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e Toute r´eponse non justifi´ee est consid´er´ee comme z´ero Questions :

1. D´eterminer l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle : y⁰⁰+ 4y⁰ + 4y= 0.

2. Est-ce que le pointD(1,1,1) appartient au plan (ABC) o`uA(1,0,0), B(0,0,1) etC(3,1,0)?

Exercice 1: On consid`ere la fonction f d´efinie sur R² par f(x, y) = (x²+y²)e^−x

1. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 de f. En d´eduire les points critiques de f. 2. D´eterminer la nature des points critiques def.

Exercice 2: On consid`ere les matrices suivantes : P =





5 1 2

1 −1 3

1 0 1



etM =





0 −1 1

5 6 −31

1 1 −6



.

1. (a) Montrer que l’inverse de la matriceP est _{1 1−5}

−2−3 13

−1−1 6

. (b) En utilisant un ´equivalent matriciel r´esoudre:

n5x+y+2z=−5 x−y+3z=2 x + z=1 .

2. Montrer que les colonnes de la matrice P sont les vecteurs propres de M. En d´eduire l’expression de M⁴².

Exercice 3: On se propose de r´esoudre sur I =]0, π[ l’´equation diff´erentielle y⁰sin(x)−ycos(x) = (2x+ 1) sin²(x)

1. Justifier pourquoi cette ´equation ´equivaut surI `a y⁰−ycos(x)

sin(x) = (2x+ 1) sin(x) (E)

2. Pr´esenter l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene y⁰ −y^cos(x)_sin(x) = 0.

3. Montrer que (x²+x) sin(x) est une solution particul`ere de (E) et puis donner l’ensemble des solutions de (E).

Exercice 4: Soit f :R² →R la fonction de deux variables d´efinie comme suit : f(x, y) = x²y+ 3y³

x²+y² pour (x, y)6= (0,0) et f(0,0) = 0 1. La fonction f est-elle continue en (0,0) ? Justifer.

2. D´eterminer les d´eriv´ees partielles de f en un point (x₀, y₀)6= (0,0).

3. D´eterminer les d´eriv´ees partielles de f par rapport `a x, `ay en (0,0).

indication : Il faut utiliser la d´efinition de la d´eriv´ee partielle 4. Est-ce que f est de classe C¹ ?