L’entiermest l’ordrede l’´equation diff´erentielle (ordre de la d´eriv´ee la plus ´elev´ee dey)

5.3 Rappels sur les ´equations diff´erentielles

Une´equation diff´erentielleest une ´equation contenant une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses d´eriv´ees.

am(t)y^(m)(t) +am−1(t)y^(m−1)(t) +· · ·+a2(t)y⁰⁰(t) +a1(t)y⁰(t) +a0(t) = 0, (1) aveca_m,am−1,· · ·,a₁,a₀sont des fonctions r´eelles pouvant d´ependre dex.

1. L’entiermest l’ordrede l’´equation diff´erentielle (ordre de la d´eriv´ee la plus ´elev´ee dey).

2. On dit qu’une fonctionu(t) est solution de l’´equation diff´erentielle (1) si son domaine de d´efinition est un certain intervalleIdeR, si elle est suffisamment d´erivable surI, et si elle v´erifie, pour toutxdeI,

a_m(t)u^(m)(t) +a_m−1(t)u^(m−1)(t) +· · ·+a₂(t)u⁰⁰(t) +a₁(t)u⁰(t) +a₀(t) = 0.

D´efinition 1

R´esoudre l’´equation diff´erentielle, c’est chercher toutes les fonctions, d´efinies sur un intervalle, qui satisfont l’´equation (on dit aussi int´egrer l’´equation diff´erentielle).

Quelques exemples

1. L’´equation diff´erentielley⁰=ay, o`uaest une constante r´eelle mod´elise des situations tr`es diverses, o`u la vitesse de variation d’une quantit´e est proportionnellle `a cette mˆeme quantit´e :

I La taille d’une population ayant un taux d’accroissement constant.

I L’´evolution d’un avoir plac´e `a int´erˆets compos´es `a taux fixe.

I L’´evolution de la masse d’une substance radio-active (dans ce cas, la constanteaest n´egative ; elle d´epend de la substance et de l’unit´e de temps choisie).

2. La seconde loi de Newton sur le mouvement d’une particule. L’inconnue est la fonction vectoriellex :R→R³.x(t) repr´esente la position de la particule `a l’instantt. En notantmla masse de la particule etF :R×R³→R³une force agissant sur la particule,

mx⁰⁰(t) =F(t,x(t)).

3. Le mod`ele proie-pr´edateur de Lotka-Volterra. On consid`ere une population constitu´ee de deux esp`eces : des proies et des pr´edateurs. L’´evolution temporelle du nombre de proiesN1(t) et du nombre pr´edateursN2(t) peut-ˆetre d´ecrite par le syst`eme

N₁⁰(t) = (r1−γ1N2)N1

N₂⁰(t) = (−γ₂+r2N1)N2,

avecr1le taux de reproduction des proiesγ1, taux de mortalit´e des proies dˆu aux pr´edateurs rencontr´es ;r2, taux de reproduction des pr´edateurs en fonction des proies rencontr´ees et mang´ees, etγ2, taux de mortalit´e des pr´edateurs

4. Soit un corps ponctuel de massemde temp´erature interneTsitu´e dans un environnement de temp´erature constanteTe. Le transfert de chaleur entre le corps et l’ext´erieur peut ˆetre d´ecrit par la loi de Stfan-Boltzmann

v(t) =εγS(T⁴(t)−T_c⁴),

o`utest la variable d´esignant le temps,εla constante de Boltzmann,γla constante d´emissivit´e du corps,Ssa surface etv la vitesse de transfert de chaleur. Le taux de variation de l’´energieE(t) =mCT(t) (Cest la capacit´e calorifique du corps) est ´egale|v|. Ainsi en posantT(0) =T0la calcul deT(t) n´ecessite la r´esolution de l’´equation diff´erentielle T⁰(t) =−^v_mC^(t), soit

T⁰(t) =−εγS(T⁴(t)−T_c⁴)

mC .

Dans tout ce qui suit on notepetmdeux entier strictement positifs,Iun intervalle ouvert deR, Uun ouvert de (R^m)^p+1etf :I ×U−→R^mune application continue.

On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y^(p)=f(t,y,y,y⁰⁰,· · ·,y^(p−1)), (t,y)∈ I ×U, . (E)

Unesolutionde l’´equation diff´erentielle (E) est une fonctiony :I −→R^mde classeC^p telle que : ∀t∈ I,y^(p)(t) =f(t,y,y,y⁰⁰,· · ·,y^(p−1)).

D´efinition 2

En g´en´eral une ´equation diff´erentielle poss`ede une infinit´e de solutions.

On adjoint `a un syst`eme de la forme (E) unecondition initiale, c’est-`a-dire que l’on fixe la valeur dey en un instantt=t⁰.

Soitt⁰∈Rety⁰= (y₁⁰,· · ·,y_d⁰)∈R^d, alorsy(t⁰) =y⁰.

On appelleprobl`eme de Cauchyle probl`eme

y^(p)(t) = f(t,y,y⁰,y⁰⁰,· · ·,y^(p−1)), t∈ I,

y(t⁰) = y⁰. (2)

D´efinition 3

Interpr´etation physique: Dans de nombreuses situations, la variabletrepr´esente le temps et y= (y1, . . . ,ym) est une famille de param`etres d´ecrivant l’´etat d’un syst`eme mat´eriel donn´e.

L’´equation (2) traduit la loi d’´evolution du syst`eme en fonction du temps et de la valeur des

Equations diff´erentielles ordinaires du premier ordre

On appelle´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordreune ´equation de la forme

y⁰(t) +a(t)y(t) =b(t), (P)

o`uaetbsont des fonctions continues deIdansR.

D´efinition 4

Les solutions g´en´erales de (P) sont toutes de la formey=yp+zo`uypest une solution particuli`ere de (P) et o`uzest une solution du probl`eme ”sans second membre” associ´e :

z⁰(t) +a(t)z(t) = 0. (P_S)

Proposition 1

M´ethode de variation de la constante

1. R´esolution du probl`eme ”sans second membre” (P_S) : Soitzune solution de (P_S) et soitAune primitive dea.

I On poseu(t) = exp(A(t))z(t),on a alors

u⁰(t) =

z⁰(t) +a(t)z(t)

exp(A(t)) = 0.

On en d´eduit queuest constante sur tout intervalle o`u elle est d´efinie.

I Ainsi, il existeλ∈Rtelle que

z(t) =λexp(−A(t)).

2. Recherche d’une solution particuli`ere de (P) parvariation de la constante

I on chercheypsous la forme

y(t) =λ(t)exp(−A(t)).

En rempla¸cant dans (P), on obtientλ⁰(t) =b(t) exp(A(t)).

I On noteG(t) une primitive deb(t) exp(A(t)).

Une solution particuli`ere de (P) est alors donn´ee pary_p(t) = exp(−A(t))G(t).

La solution g´en´erale de (P) est :y(t) =e^−A(t)(λ+G(t)).

Equations se ramenant `´ a des ´equations lin´eaires Equations `a variables s´epar´ees.

Ce sont les ´equations qui peuvent se mettre sous la forme

y⁰(t)g(y(t)) =h(t). (3)

Soit alorsG une primitive deg etH une primitive deh. L’´equation (3) s’´ecrit donc d

dtG(y(t)) = d dtH(t).

La fonctiont7→G(y(t))−H(t) est donc constante et il existeλtelle que G(y(t)) =H(t) +λ.

Equations de Bernoulli Ce sont les ´equations de la forme

y⁰(t) =a(t)y(t) +b(t)y^m(t), o`umest un r´e´el non nul, etaetbsont des fonctions continues.

Remarques.

1) sim>0 : siy s’annule en un point deIalorsy(t) = 0 est l’unique solution ; 2) sim<0 alors l’´equation n’est d´efinie que siy(t)6= 0.

On peut donc supposer quey ne s’annule pas. On pose alors z(t) =y^−m+1(t).

Cette fonction v´erifie l’´equation diff´erentiellelin´eaire de degr´e 1 z⁰(t) =−(m−1)(a(t)z+b(t)).

Quelques rappels de primitives SoitC une constante, etuune fonction.

f u⁰uⁿ, n∈N u⁰

u

u⁰

uⁿ,n≥2 u⁰

√u u⁰e^u

Primitive de 1

n+ 1uⁿ⁺¹+C ln|u|+C − 1

(n−1)uⁿ⁻¹+C 2√

u+C e^u+C

Equations diff´´ erentielles d’ordre deux On s’int´eresse aux ´equations du type suivant.

y⁰⁰=ay⁰+by (4)

o`uaetbsont deux r´eels donn´es.

Avant d’´enoncer le r´esultat qui donne la solution g´en´erale de (4), commen¸cons par chercher une solution sous la formey(t) =e^rt.

En reportant dans (4), on peut simplifier pare^rtqui est toujours non nul. On obtient l’´equation suivante enr:

r²=ar+b. (E_CA)

L’´equation (ECA) porte le nom d’´equation caract´eristique associ´ee `a (4).

D´efinition 5

La solution g´en´erale de (4) s’exprime `a l’aide des racines de (E_CA).

SoitE l’ensemble des solutions de (4), d´efinies surR. L’ensembleEest un sous-espace vectoriel de dimension 2 deR^R. Si l’´equation caract´eristique associ´ee poss`ede

deux racines r´eelles distinctesr1etr2, alors : E=

t7→C1e^r1t+C2e^r2t,(C1,C2)∈R² , une racine doubler, alors :

E=

t7→C1e^rt+C2te^rt,(C1,C2)∈R² , deux racines complexes conjugu´eesα+iβetα−iβ, alors :

E=

t7→C1e^αtcos(βt) +e^αtsin(βt),(C1,C2)∈R² . Th´eor`eme 1

Exemples illustrant les trois cas.

´

equation (E_CA) racines solution g´en´erale y” =y⁰+ 6y r²=r+ 6 −2,3 C1e^−2t+C2e^3t y” =−4y⁰−4y r²=−4r−4 −2,−2 C1e^−2t+C2te^−2t y” =−4y⁰−13y r²=−4r−13 −2±3i C1e^−2tcos(3t) +C2e^−2tsin(3t)

Equations diff´´ erentielles d’ordre 2 avec second membre non nul

Dans cette section, nous ajoutons une fonction de la variable `a l’´equation du second ordre `a coefficients constants de la section pr´ec´edente.

y⁰⁰=ay⁰+by+h, (5)

o`uaetbsont deux r´eels, ethest une fonction deRdansR: le second membre. Comme pour les

´equations lin´eaires du premier ordre, la solution g´en´erale de (5) s’obtient en ajoutant une solution particuli`ere `a l’´equation sans second membre (4).

Soitypune solution particuli`ere dey⁰⁰=ay⁰+by+h. Soit (y1,y2) une base de l’espace vectoriel des solutions de l’´equation sans second membrey⁰⁰=ay⁰+by. Alors, l’ensemble des solutions dey⁰⁰=ay⁰+by+hest :

E=

C1y1+C2y2+yp,(C1,C2)∈R² . Th´eor`eme 2

5.4 Trouver un d´eveloppement limit´e `a partir d’une ´equation diff´erentielle On consid`ere le probl`eme ci-dessous.















y^(m)(t) = f(t,y,y⁰, ...,y^(p−1)), t∈]t₀,T] y(t0) = y₀⁰,

y⁰(t0) = y₀¹, ..

.

y^(p−1)(t0) = y₀^p−1, o`uy₀ⁱ,i= 0,· · ·,p−1 sont des r´eels donn´es.

On suppose que le probl`eme ci-dessus admet une unique solution et que sa solution admet un d´eveloppement limit´e ent<sup>?</sup>`a l’ordrek. Autrement dit, on ´ecrit

y(t) =a0+a1(t−t^?) +a2(t−t^?)²+· · ·+ak(t−t^?)^k+ (t−t^?)^kε((t−t^?)^k), avec lim

t→t^?ε((t−t^?)^k) = 0.

Le th´eor`eme de d´erivation d’un d´eveloppement limit´e (i.e. on peut d´eriver un DL terme `a terme) permet de calculery^(m)(t). Ainsi en identifiant avec le second membre du probl`eme et en utilisant les conditions initales on d´eduit le d´eveloppement limit´e deyent<sup>?</sup>`a l’ordrek.

5.5 D´eveloppement en s´erie enti`ere d’une solution d’une ´equation diff´erentielle Rappels sur les s´eries enti`eres

On appelles´erie enti`erede la variable r´eelle toute s´erie dont le terme g´en´eral est de la formeanxⁿ.

a0,a1,· · ·an,· · · r´eels sont appel´es coefficients de la s´erie.

D´efinition 6

Remarques :

D´efinir une s´erie enti`ere revient `a d´eterminer la suite (an) de ses coefficients.

La convergence d’une s´erie enti`ere d´epend de la variablex.

Soit (an) une suite. Si, pour un r´eel r >0, la suite (anrⁿ) est born´ee, alors pour tout

|x|<r, la s´erie num´eriqueP

anxⁿest absolument convergente.

Proposition 2(Lemme d’Abel)

SoitP

anxⁿune s´erie enti`ere. Il existe un uniqueR∈R⁺∪ {+∞}tel que si|x|<R alors (P

unxⁿ) converge absolument, si|x|>R alors (P

unxⁿ) diverge.

On appelleRlerayon de convergencede la s´erie enti`ere, et ({x∈R,|x|<R}) l’intervalle ouvert de convergence.

Proposition 3

Remarque :le rayon de convergence d’une s´erie enti`ereP

anxⁿne d´epend que de la suite (|a_n|).

D´etermination pratique du rayon de convergence

Des r`egles de Cauchy et de d’Alembert sur les s´eries num´eriques on d´eduit :

i) Si lim

n→+∞|a_n|n¹ =`∈[0,+∞], alorsR=<sup>1</sup><sub>`</sub>,

ii) On suppose qu’`a partir d’un certain rang, les coefficientsansont non nuls.

Si lim

n→+∞|an+1

an

|=`∈[0,+∞] alorsR=<sup>1</sup><sub>`</sub>,

avec la conventionR= +∞si`= 0 etR= 0 si`= +∞.

Proposition 4

Exemple.

La s´erie enti`ereX

xⁿa pour rayon de convergenceR= 1.

La s´erie enti`ereX xⁿ

√na pour rayon de convergenceR= 1.

La s´erie enti`ereX n!

(2n)!xⁿa pour rayon de convergenceR= +∞.

La s´erie enti`ereX n!

2²ⁿp

(2n)!xⁿ a pour rayon de convergenceR=¹₈.

Soitx0∈Run r´eel etR∈R∪ {+∞}. On dit quegest d´eveloppable en s´erie enti`ere en x0sur ]x0−R,x0+R[, si pour toutx∈]x₀−R,x0+R[,

g(x) =

+∞

X

n=0

an(x−x0)ⁿ. Cette identit´e est le d´eveloppement en s´erie enti`ere deg.

D´efinition 7

Un changement de variable permet de se ramener `a des d´eveloppements en s´erie enti`ere en 0.

La fonctiong est d´eveloppable en s´erie enti`ere enx0sur ]x0−R,x0+R[, si et seulement si la fonctionf :x7−→g(x0+x) est d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0 sur ]−R,R[.

Proposition 5

Le th´eor`eme suivant montre qu’une fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere, est ind´efiniment d´erivable. Ses d´eriv´ees successives sont ´egalement d´eveloppables en s´erie enti`ere.

Soitf une fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere, telle que pour toutx∈]−R,R[,

f(z) =

+∞

X

n=0

anxⁿ=a0+a1x+· · ·+anxⁿ+· · ·

La fonctionf est ind´efiniment d´erivable sur ]−R,R[. Sa d´eriv´ee est la somme de la s´erie d´eriv´ee terme `a terme, qui converge sur ]−R,R[.

f⁰(x) =

∞

X

n=1

nanxⁿ⁻¹=a1+ 2a2z+· · ·+nanxⁿ⁻¹+· · · Th´eor`eme 3

Sif est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−R,R[, alors son d´eveloppement est :

f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ=f(0) +f⁰(0)x+· · ·+f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ+· · · Corollaire 1

Exemple.Consid´erons l’´equation diff´erentielle :

x(x²+ 1)y⁰⁰+ (x²−1)y⁰= 1, (E)

D´eterminer une solution de l’´equation diff´erentielle (E) d´eveloppable en s´erie enti`ere. Quel est le

5.6 Syst`emes diff´erentiels lin´eaires

Dans ce qui suitId´esigne un intervalle deRetM_n(K) l’ensemble des matrices carr´ees de taille nsurR.

Quelques rappels

On d´efinit l’exponentielle d’une matriceA∈ Mn(R) par :e^A=

+∞

X

n=0

1 n!Aⁿ.

1 e⁰=IM_n(R).

2 SiA=diag(λ1, . . . , λn) alorse^A=







e^λ1 · · · 0 ..

. . .. ... 0 · · · e^λn





. Propri´et´es

Soit A(t) = (aij(t))1≤i,j≤m une fonction continue de I dans Mn(R) et B(t) = (bi(t))1≤i≤mune fonction continue deIdansR^m.

Un syst`eme diff´erentiel lin´eaire du premier ordredansR^mest une ´equation de la forme dY

dt =A(t)Y+B(t), o`uY(t) = y1(t),· · ·,y_m(t)

∈R^mest la fonction inconnue.

D´efinition 8

Exemple.

x⁰(t) =y(t)

y⁰(t) =−x(t) est un syst`eme diff´erentiel lin´eaire d’ordre un.

Repr´esentation graphique.

Figure:Gauche : Repr´esentation de la solution dansR³; centre : repr´esentation dex(t) ety(t) : droite : repr´esentation de la trajectoireu(t),v(t).

5.7 Syst`emes diff´erentiels lin´eaires `a coefficients constants Ce sont les syst`emes de la forme dY

dt =Ay+B(t), (6)

o`u la matriceAne d´epend pas det.

La solution g´en´erale du syst`eme <sup>dY</sup><sub>dt</sub> =Ay estY(t) =e<sup>At</sup>V avecV ∈R<sup>n</sup>. La solution du probl`eme de Cauchy ^dY_dt =Ay,Y(t⁰) =Y⁰estY(t) =e^A(t−t0)Y⁰. Th´eor`eme 4

SiAest diagonalisablela solution g´en´erale du syst`eme ^dY_dt =Ay est donn´ee par Y(t) =α1e^λ1tV1+· · ·+αme^λmtVm, αj∈R,

o`u (V1, . . . ,Vm) est une base de vecteurs propre deR^m de valeurs propres respectives λ1, . . . , λm.

Th´eor`eme 5

1 LorsqueAest triangularisable et non diagonalisable on ´ecritA=PTP⁻¹avecTune matrice triangulaire etP la matrice de passage et on effectue le changement de variable

Z(t) =P⁻¹Y(t).

2 Pour r´esoudre le syst`eme avec second membre (6) il suffit de trouver une solution particuli`ere que l’on ajoute `a la solution g´en´erale sans second membre.

1 Un syst`eme diff´erentiel d’ordrepdansR^mest une ´equation de la forme y^(p)=f(t,y,y, . . . ,y^(p−1)), (E)

o`uf :U→R^mest une application continue d´efinie sur un ouvertU⊂R×(R^m)^p.

2 Une solution de cette ´equation sur un intervalleI ⊂Rest une application y :I →R^mp-fois d´erivable, telle que

i) ∀t∈ I,(t,y(t),y⁰(t), . . . ,y^(p−1)(t))∈U,

ii) ∀t∈ I,y^(p)(t) =f(t,y(t),y⁰(t), . . . ,y^(p−1)(t)).

D´efinition 9

Dans le cas scalaire, posons pouri= 0,· · ·,p−1,zi(t) =y⁽ⁱ⁾(t).

Alorsyest solution de l’´equation diff´erentielle d’ordrep, (E), si et seulement si les fonctions zi,i= 0,· · ·,p−1 sont solution du syst`eme `ap´equations diff´erentiellesd’ordre 1 ci-dessous :















z₀⁰(t) = z1(t) z₁⁰(t) = z2(t)

.. .

z_p−2⁰ = zp−1

z_p−1⁰ (t) = f(t,z0(t),z1(t),· · ·,zp−1(t))

Sif est de classeC^k , les solutionsysont de classeC^k+p. Th´eor`eme 6(R´egularit´e)

Existence et unicit´e

Consid´erons un syst`eme diff´erentiel











x₁⁰=f1(t,x1,· · ·,xn) x₂⁰=f2(t,x1,· · ·,xn) ..

.

x_n⁰=fn(t,x1,· · ·,xn)

dans lequel les fonctionsfi sont d´efinies et continues sur un mˆeme domaineDdeR×Rⁿ et poss`edent des d´eriv´ees partielles par rapport auxxi qui sont continues surD. Alors, si l’on se donne des r´eelst0,a0,· · ·,an il existe une unique solution (u1(t),· · ·,un(t)), d´efinie sur un intervalle maximal contenantt0, qui v´erifie les conditions initialesu1(t0) = a1,· · ·,un(tn) =an.

Th´eor`eme 7

5.8 M´ethodes d’approximation des ´equations diff´erentielles

Objectif : Etant donn´ee une fonctionf : [0,T]×R^m→R^mon cherche `a approcher la solution du probl`eme de Cauchy

y⁰(t) =f(t,y(t)),t∈[0,T], y(0) =y0. (7) Principe :

Subdiviser l’intervalle [0,T] enNintervalles [tn,tn+1],n= 0, . . . ,N−1. . Construire une suite (d´ependant deN) de valeursw0,w1, . . .wNapprochant y(t0),y(t1), . . . ,y(tN) respectivement.

Ainsi, l’ensemble des valeurs

w0=y0,w1,· · ·,wN repr´esente la solution num´erique.

Dans ce qui suit, nous supposons que les subdivisions sont de mˆeme longueur h=T/N.

5.8.1 Construction d’un sch´ema num´erique `a l’aide de quadratures num´eriques En int´egrant (7) sur [tn,tn+1], on obtient

y(tn+1)−y(tn) = Z tn+1

t_n

f(s,y(s))ds.

On peut donc calculery(tn+1) connaissanty(tn) pourvu que l’on sache calculer l’int´egrale Rtn+1

tn f(s,y(s))ds.

1 La m´ethode des rectangles `a gauche conduit `a approcher la solution de (7) par la suite (wn) d´efinie par

w0=y0

wn+1=wn+hf(tn,wn),n≥0.

Cette m´ethode est appel´eesch´ema d’Euler explicite.

2 La m´ethode des rectangles `a droite conduit `a approcher la solution de (7) par la suite (wn) d´efinie par

w0=y0

wn+1=wn+hf(tn+1,wn+1),n≥0.

Cette m´ethode est appel´eesch´ema d’Euler implicite.

Comment r´esoudre un tel sch´ema ?

A chaque it´` eration il s’agit de r´esoudre l’´equation non lin´eaire w=ϕ(w), avecϕ(w) =wn+hf(tn,w).

Siϕest contractante, alors il existe un unique point fixe.

Les m´ethodes d’Euler explicite et implicite sont des m´ethodes `a un pas carwn+1d´epend seulement dewn(et detn).

R´esolution approch´ee sur [0,1] dey⁰=−y+t+ 1,y(0) = 1 par la m´ethode d’Euler explicite.

La solution exacte est :y(t) =e^−t+t.

ti 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.8 0.9 1

y(ti) 1 1.0048374 1.0187308 1.0408182 1.07032 1.1065307 1.249329 1.3065697 1.3678794

wi 1 1 1.01 1.029 1.0561 1.09049 1.2304672 1.2874205 1.3486784

ei 0 0.0048374 0.0087308 0.0118182 0.0142200 0.0160407 0.0188618 0.0191492 0.0192010

Solutions exacte et approch´ees pourh= 0.1,0.05,0.025

L’erreur de troncaturelocale au tempstn,ηn, du sch´ema d’Euler explicite est d´efinie par ηn(h) =y(tn+1)−y(tn)

h −f(tn,y(tn)).

D´efinition 10

L’erreur de troncature locale mesure la pr´ecision avec laquelle la solution exacte v´erifie l’´equation wn+1=wn+h f(tn,wn).

Supposons quef : [t0,T]×R^d 7→R^mest continue et lipschitzienne, c-`a-d qu’il existe une constantektelle que

∀t∈I,∀z₁,z2∈R^d, kf(t,z1)−f(t,z2)k ≤kkz₁−z2k.

Supposons de plus qu’il existe une constante M telle que |y⁰⁰(t)| ≤ M. Alors pour i= 1,· · ·,N

|y(ti)−wi| ≤hM

2L e^k(ti−t0)−1 . Th´eor`eme 8

5.8.2 Stabilit´e

Que se passe-t-il lorsque l’on se place sur l’intervalle [0,+∞[ ? Consid´erons le probl`eme de Cauchy suivant :

y⁰(t) =λy(t), t∈[0,+∞[

y(0) =y0, (8)

avecλ <0 donn´e. La solution exacte esty(t) =y0e^λt, et lim

t→+∞y(t) = 0.

Sch´ema d’Euler explicite

w0=y0

wn+1= (1 +λh)wn, n≥0.

et ainsiwn+1= (1 +λh)ⁿw0pourn≥0. Donc si|1 +λh| ≥1, alorswn→+∞. Le sch´ema est alors ditinstable.

Sih<⁻²_λ, alorswn→0. Le sch´ema est alors ditstable.

Sch´ema d’Euler implicite wn=

1 1−λh

wn et ainsi wn= 1

1−λh n

w0. Il est clair quewn→0 pour touth, le sch´ema estinconditionnellement stable.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0 2 4 6 8 10 12

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 2 4 6 8 10 12

Solution de l’´equation (8) lorsqueλ=−5.

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