Propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee

Chapitre 3

Propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee

Le calcul de la fonction d´ eriv´ ee ` a l’aide de la d´ efinition donn´ ee au chapitre pr´ ec´ edent est laborieuse, mˆ eme pour des fonctions d´ efinies par des expressions alg´ ebriques simples. Heureusement, il est possible

«

d’alg´ ebriser

»

le calcul de la d´ eriv´ ee, c’est-

`

a-dire d’identifier des propri´ et´ es qui permettent de calculer directement ` a partir de d´ efinition alg´ ebrique de la fonction ` a d´ eriver et sans utiliser la d´ efinition. On d´ emontrera dans ce chapitre un certain nombre de propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee qui, prise ensemble, permettent de d´ eterminer la d´ eriv´ ee d’une fonction en appliquant des

«

formules de d´ erivation

»

(ou

«

r` egles de d´ erivation

»).

Ces propri´ et´ es ont ´ et´ e d´ ecouvertes au fil du temps par plusieurs math´ ematiciens qui travaillaient sur diff´ erents probl` emes allant du calcul d’aires d´ elimit´ ees par des courbes alg´ ebriques ` a la d´ etermination de minimums et maximums li´ es ` a des pro- bl` emes de g´ eom´ etrie. C’est ` a Newton et Leibniz que l’on doit d’avoir su les pr´ esenter de mani` ere syst´ ematique pour la premi` ere fois et d’avoir ´ etablit le lien entre le calcul d’aire et la d´ eriv´ ee.

Dans ce qui suit, nous chercherons ` a ´ etablir un certain nombre de propri´ et´ es alg´ e- briques de la d´ eriv´ ee qui peuvent servir ` a la d´ etermination des fonctions d´ eriv´ ees sans utiliser la d´ efinition donn´ ee au dernier chapitre, mais plutˆ ot en la calculant directement ` a partir de l’expression alg´ ebrique d´ efinissant la fonction ` a d´ eriver.

3.1 Preuves alg´ ebrique et preuves graphiques

_{Faire x}² graphiquement et alg´e- briquement, faire x⁴ alg´ebrique- ment pour transiter vers formule pour xⁿ apr`es avoir expliqu´e le triangle de Pascal.

Pour simplifier, nous utiliserons parfois des preuves graphiques comme d´ emonstra- tion de certaines propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee. Pour donner un avant-goˆ ut de ce genre d’argument, voici une preuve alg´ ebrique et une preuve graphique du fait que la d´ eriv´ ee de la fonction y = x

²

est y

⁰

= 2x.

Proposition 3.1.

d

x

²

dx = 2x.

Preuve alg´ ebrique.

d x

²

dx = (x + dx)

²−

x

²

dx

= (x

²

+ 2xdx + dx

²

)

−

x

²

dx

= 2xdx + dx

²

dx

= dx(2x + dx) dx

= 2x + dx

≈

2x car dx

²

tr` es petit quand dx est petit

On peut g´ en´ eralement obtenir g´ eom´ etriquement l’expression de dy ` a partir de rela- tions g´ eom´ etriques. Cette mani` ere de faire est fr´ equente en physique. Elle permet aussi de mieux comprendre pourquoi certaines quantit´ es peuvent ˆ etre n´ eglig´ ees.

Preuve g´ eom´ etrique. La diff´ erentielle dy est l’aire de la r´ egion en gris dans le gra- phique suivant : c’est l’´ ecart entre un carr´ e de cˆ ot´ e x et un carr´ e de cˆ ot´ e x + dx.

Quand dx est tr` es petit, l’aide du petit carr´ e dx

²

est n´ eglig´ ee.

x x

dx dx

x

²

dx² xdx

xdx

On peut voir dans ce graphique que

dy = xdx + xdx + dx

²≈

2x dx.

Ainsi,

dy

dx = 2x dx

dx = 2x.

Proposition 3.2. La d´ eriv´ ee de la fonction racine carr´ ee est d

dx

√

x

= 1 2

√

x

.

D´ emonstration.

d

√

x dx =

√

x + dx

−√

x dx

=

√

x + dx

−√

x dx

√

x + dx +

√

√

x

x + dx +

√

x

= (x + dx)

−

x dx(

√

x + dx +

√

x)

= 1

√

x + dx +

√

x

≈

1

√

x +

√

x

= 1 2

√

x car

√

x + dx

≈ √

x si dx tr` es petit.

Preuve graphique. si x est l’aire d’un carr´ e, alors le cˆ ot´ e est y =

√

x. Si l’aire du carr´ e change de x ` a x + dx (donc varie de la partie en gris dx), alors la variation approximative dy du cˆ ot´ e du carr´ e est approximativement dy =

√

x + dx

−√

x.

y dy

dy

y

√

x + dx

√

x

x

^dx

D’apr` es la figure, l’aire dx (en gris) peut s’´ ecrire comme dx = ydy + ydy + dy

².

Si on n´ eglige dy

²

qui est tr` es petit par rapport ` a dy, on trouve dx = 2ydy,

donc, en isolant,

dy = 1 2y dx.

Enfin, comme y =

√

x, on doit avoir que dy = 1

2

√

x dx.

Proposition 3.3. Si y =

¹_x

, alors

dy =

−

1 x

²

dx.

D´ emonstration.

dy dx =

1 x+dx−¹_x

dx

=

x−(x+dx) x(x+dx)

dx

=

−1 x²+xdx

dx

dx

=

−1

x

²

+ xdx

≈ −1

x

²

car x

²

+ x dx

≈

x

²

quand dx est infinit´ esimal

3.2 Formules de d´ erivation de base

Dans la section pr´ ec´ edente, nous avons trouv´ e quelques d´ eriv´ ee de fonction particu- li` ere ` a l’aide d’arguments alg´ ebriques et d’arguments graphiques. On veut mainte- nant ´ etablir des

«

formules de d´ erivations

»

qui permettent de calculer la fonction d´ eriv´ ee d’une fonction donn´ ee, sans passer par la d´ efinition de d´ eriv´ ee. Les proposi- tions d´ emontr´ ees dans cette section permettent notamment de calculer rapidement

la d´ eriv´ ee de n’importe quelle fonction polynˆ omiale.

Rappeler les deux notations et les utiliser dans l’´enonc´e des pro- positions. Rappeler que la nota- tion(y)⁰est celle utilis´ee dans le formulaire.

Note 3.1. Pour all´ eger, ` a partir de ce point nous utiliserons souvent la notation

«

(y)

⁰ »

pour d´ esigner la d´ eriv´ ee de y. Par exemple, on ´ ecrit directement x

²0

= 2x plutˆ ot que

y = x

²

dy dx = 2x.

3.2.1 D´ eriv´ ee d’une puissance enti` ere positive

Commen¸cons par la formule de d´ erivation la plus remarquable, qui est aussi celle que vous utilisez le plus souvent dans ce cours.

Il est possible de faire de mani` ere g´ en´ erale les calcul effectu´ e pour d´ eterminer la d´ eriv´ ee de x

²

, de x

³

, de x

⁴

, etc, pour obtenir une formule de d´ erivation pouvant ˆ etre utilis´ ee pour d´ eriver facilement une fonction d´ efinie par une expression de la forme x

ⁿ

o` u n

∈N

.

Proposition 3.4 (Puissances ent` eres positives). Si n

∈N

, alors d

x

ⁿ

dx = nx

ⁿ⁻¹.

Exemple 3.1.

x

³0

= 3x

²

x

¹⁰0

= 10x

⁹

x

⁷⁴³0

= 743x

⁷⁴²

x

²0

= 2x

x

¹0

= 1

·

x

⁰

= 1 (1)

⁰

= x

⁰0

= 0

·

x

⁻¹

= 0.

D´ emonstration. Pour cette preuve, nous utiliserons le triangle de Pascal pour d´ eve- lopper (x + dx)

ⁿ

. Ce d´ eveloppement d´ ebute ainsi :

(x + dx)

ⁿ

= x

ⁿ

+ nx

ⁿ⁻¹

dx + ( termes o` u dx apparait avec un exposant

≥

2).

Notons qu’on peut mettre dx en ´ evidence d’une somme dont les termes tous un facteur dx

²

. On trouve ainsi la d´ erive directement ` a partir de la d´ efinition :

d x

ⁿ

dx = ( x + dx)

ⁿ−

x

ⁿ

dx

=

x

ⁿ

+ nx

ⁿ⁻¹

dx + (termes) dx

²

−

x

ⁿ

dx

= nx

ⁿ⁻¹

dx + (termes) dx

²

dx

=

nx

ⁿ⁻¹

+ (termes) dx dx dx

= nx

ⁿ⁻¹

+ (termes dx)

≈

nx

ⁿ⁻¹.

3.2.2 D´ eriv´ ee d’une constante

Comme une fonction constante a comme graphe une droite de pente 0, la tangente

`

a cette droite en n’importe quel point est aussi une droite de pente nulle.

Proposition 3.5 (D´ eriv´ ee d’une constante). Si y = C, o` u C est une constante r´ eelle quelconque, alors

d(C) dx = 0

Exemple 3.2.

(2)

⁰

= 0 (−3)

⁰

= 0 (0)

⁰

= 0 (π)

⁰

= 0

D´ emonstration. Comme y = f (x) = C peut importe la valeur de x, on a que d(C)

dx = f ( x + dx)

−

f( x) dx

= C

−

C dx

= 0

De mani` ere similaire au cas o` u y est une fonction constante, la d´ eriv´ ee de y = x

co¨ıncide avec l’intuition : y = x est une droite de pente 1, donc toute tangente ` a cette

droite doit ˆ etre de pente 1.

Proposition 3.6. Si y = x, alors dy dx = 1

D´ emonstration.

dy

dx = (x + dx)

−

x

dx = dx

dx = 1

3.2.3 D´ eriv´ ee d’un multiple r´ eel d’une fonction

La prochaine formule de d´ erivation comporte un ´ el´ ement nouveau. Les formules d´ emontr´ ees dans les sections pr´ ec´ edentes pour les puissances enti` eres positives et pour les fonctions constantes, des fonctions aux formes fix´ ees. Pour la prochaine formule, la preuve que nous donnons est valide pour n’importe quelle fonction u = f (x) qui a une d´ eriv´ ee. ` A cause de cela, nous devons formuler la formule ` a l’aide de cette fonction quelconque u.

Proposition 3.7 (D´ eriv´ ee d’un multiple consant d’une fonction). Si y = Cu, o` u u = f (x) est une fonction de x, alors

d dx

Cu

= C du dx

Exemple 3.3.

3x

⁵0

= 3

x

⁵0

x

³

5

!⁰

= 1 5

x

³0

x

⁵

√

3

!⁰

= 1

√

3

x

⁵⁰ πx²0

=

π

x

²⁰

Preuve alg´ ebrique. Si u = f (x), alors du = f (x + dx)

−

f (x). Donc, comme f ( x) = u, on a que

u + du = f (x + dx) et aussi que

C(u + du) = C f (x + dx).

La diff´ erentielle d(Cu) peut se calculer comme

d(Cu) = C f (x + dx)

−

C f (x) = C(u + du)

−

Cu.

On a donc que

d(Cu)

dx = C(u + du)

−

Cu dx

= Cu + Cdu

−

Cu dx

= Cdu dx

= C du

dx

Preuve graphique. Si la longueur u est variable en fonction de x. Si elle s’accroit d’une petite longueur du quand x s’accroit de dx, la longueur Cu (o` u C

∈R

est une constante quelconque) s’accroit d’une longueur Cdu.

C(u+du)

Cu Cdu

3.2.4 D´ eriv´ ee d’une somme de deux fonctions

Comme dans la derni` ere section, la prochaine proposition peut ˆ etre utilis´ ee pour d´ eriver la somme de deux fonctions quelconques u = f (x) et v = g(x). Il faut donc adapter la d´ emonstration pour qu’elle soit valable dans ce contexte g´ en´ eral.

Proposition 3.8 (D´ eriv´ ee d’une somme de deux fonctions). Si u et v sont toutes deux des fonctions d’une mˆ eme variable, alors

d u + v

dx = du dx + dv

dx

.

Exemple 3.4.

−

x

²

+ 3x

0

=

−

x

²0

+ 3x

0

x

²−

3x

0

=

x

²

+ (−3x)

0

= x

²0

+

−

3x

0

Preuve alg´ ebrique. Si u = f ( x) et v = g(x) sont deux fonctions, alors du = f (x + dx)

−

f (x) et dv = g( x + dx)

−

g(x).

En isolant f (x + dx) et g(x + dx) dans ces deux ´ egalit´ es, on trouve que f (x + dx) = f (x) + du = u + du et g(x + dx) = g( x) + dv = v + dv.

On peut donc d´ eterminer la variation d(u + v) : d

u + v dx =

f( x + dx) + g( x + dx)

−

f (x) + g( x) dx

=

(u + du) + (v + dv)

−

(u + v) dx

= du + dv dx

= du dx + dv

dx

Ainsi, on a que

d(u + v) dx = du

dx + dv dx

.

Preuve graphique.

u+du v+dv

u du v dv

u v du dv

u+v du+dv

Bien que la proposition 3.8 permette de d´ eriver la somme de deux fonctions, elle permet aussi de d´ eriver la diff´ erence de deux fonctions, car une diff´ erence est une somme o` u un des fonction est multipli´ e par la constante -1 :

u

−

v = u + (

−

1)v.

Par exemple, x

²−

x

³0

=

x

²

+ (−1)x

³0

= x

²0

+

(−1)x

³0

D´ eriv´ ee d’une somme

= 2x + (−1) x

³0

= 2x + (−1)3x

²

= 2x +

−3x²

En pratique, il ne sera pas n´ ecessaire de donner ces d´ etails ` a chacun des calculs de d´ eriv´ es. Il est cependant important de comprendre pourquoi on ne peut pas appliquer directement la proposition 3.8 sans utiliser cette r´ e´ ecriture de la diff´ erence.

On peut aussi g´ en´ eraliser la proposition ` a la somme (ou la diff´ erence) de plusieurs fonctions. Par exemple, si on doit d´ eriver la somme de trois fonctions, on peut utiliser le fait que

u + v + w = (u + v) + w,

pour consid´ erer la somme de trois fonctions u + v + w comme la somme de la fonction u + v et de la fonction w, donc comme une somme de deux fonctions.

x

²

+ x

³

+ x

⁴0

= x

²

+ x

³

+ x

⁴0

=

x

²

+ x

³0

+ x

⁴0

D´ eriv´ ee d’une somme

= x

²0

+ x

³0

+ x

⁴0

D´ eriv´ ee d’une somme

= 2x + 3x

²

+ 4x

³

D´ eriv´ ee d’une puissance

Si on a plusieurs fonctions on peut r´ ep´ eter la mˆ eme id´ ee.

On peut donc utiliser la g´ en´ eralisation suivante de la proposition 3.8.

Corollaire 3.1. La d´ eriv´ ee d’une somme ou d’une diff´ erence de plusieurs fonc- tions est donn´ ee par

±

u

±

v

±

w

± · · · ±

z

0

=

±u⁰±

v

⁰±

w

⁰± · · · ±

z

⁰

Exemple 3.5. En combinant le dernier corollaire et les autres formules de d´ e-

rivation d´ emontr´ ees pr´ ec´ edemment, on peut d´ eterminer directement la fonction

d´ eriv´ ee d’une fonction polynomiale.

x

³−

4x

²

+ 3x + 1

0

= 3x

²−

8x + 3 5x

⁶

+ x

⁵−

7x

²

+ 1

0

= 30x

⁵

+ 5x

⁴−

14x 3x

⁴−

4x

³

+ 5x

²−

x + 22

0

= 12x

³−

12x

²

+ 10x

−

1

Note 3.2. Les deux derni` eres propri´ et´ es (d´ eriv´ ee d’un multiple contant d’une fonc- tion et d´ eriv´ ee de la somme de deux fonctions) prises ensemble forment une propri´ et´ e appel´ ee lin´ earit´ e de la d´ eriv´ ee. Les limites et plusieurs autres constructions math´ e- matiques ´ etudi´ ees au coll´ egial (limites, int´ egrales, sommes de vecteurs, sommes de matrices, etc) ont cette propri´ et´ e de

«

lin´ earit´ e

». qui est le sujet central du cours

d’alg` ebre lin´ eaire.

Exemple 3.6. A l’aide des propri´ ` et´ es pr´ ec´ edentes, on peut d´ eterminer la d´ eriv´ ee d’une fonction polynˆ omiale quelconque. Par exemple

3x

²−

2x + 4

0

= 3x

²0

−

(2x)

⁰

+ (4)

⁰

prop. 3.8

= 3 x

²0

−

3(x)

⁰

+ (4)

⁰

prop. 3.7

= 3 2x

¹

−

3(1) + (0) d´ eriv´ ee d’une puissance et d’une constante

= 6x

−

3

Par la suite, nous ne donnerons pas autant de d´ etails pour la d´ eriv´ ee des polynˆ omes.

La plupart du temps, nous donnerons directement le r´ esultat.

3.2.5 D´ eriv´ ee d’un produit

Proposition 3.9 (Formule de Leibniz pour la d´ eriv´ ee d’un produit). Si u et v sont toutes deux des fonctions de x, alors sous forme diff´ erentielle

d uv

= vdu + udv.

Le taux de variation instantan´ e est donc d

uv

dx = vdu + udv dx

.

D´ emonstration.

d uv dx =

(u + du)(v + dv)

−

(uv) dx

=

uv + vdu + udv + dudv

−

uv dx

= vdu + udv + dudv dx

≈

vdu + udv

dx car dudv est tr` es petit quand du et dv sont petits

= v du dx + u dv

dx

Preuve graphique :

u du

v dv

uv udv

vdu du dv (n´egligeable)

La r´ egion en gris est d(uv), la variation de uv quand u varie de du et v varie de dv.

Selon le graphique, on a que

d(uv) = udv + vdu + dudv, ce qui est approximativement

d(uv)

≈

udv + vdu

car le produit dudv est tr` es petit par rapport ` a du et dv.

Note 3.3. La formule de Leibniz peut aussi s’´ ecrire des deux mani` eres suivante ` a l’aide des autres notations utilis´ ees pour la d´ eriv´ ee :

uv

0

= u

⁰

v + uv

⁰

f (x)g(x)

0

= f

⁰

(x)g(x) + f (x)g

⁰

(x)

D´eriver le produit

(x²+2x+3)(x³−3x²+x−1)= x⁵−x⁴−2x³−8x²+x−3 de deux mani`eres pour montrer que ca donne le mˆeme r´esultat

Exemple 3.7. En utilisant la formule de Liebniz (proposition 3.9), on trouve que (x

⁴

+ 1)(x

⁶

+ 1)

0

= (x

⁴

+ 1)

⁰

(x

⁶

+ 1) + ( x

⁴

+ 1)(x

⁶

+ 1)

⁰

= (4x

³

)(x

⁶

+ 1) + (x

⁴

+ 1)(6x

⁵

)

= (4x

⁹

+ 4x

³

) + (6x

⁹

+ 6x

⁵

)

= 10x

⁹

+ 6x

⁵

+ 4x

³

Exemple 3.8.

(x + 1)

√

x

0

= (x + 1)

⁰√

x

+ (x + 1)

√

x

0

Formule de Leibniz

= (1)

√

x

+ (x + 1) 1 2

√

x

!

D´ eriv´ ees d’un polynˆ ome et de

√

x

=

√

x + x + 1 2

√

x 1

·

A = A et A 1

B = A B

=

√

x 2

√

x + x + 1 2

√

x D´ enominateur commun

= 2x + x + 1 2

√

x

√

A

√

A = A

= 3x + 1 2

√

x

3.2.6 D´ eriv´ ee d’un quotient

Un rapport de deux fonctions de la forme f (x)/g(x) peut ˆ etre d´ eriv´ ee ` a l’aide de la formule donn´ ee dans la proposition suivante.

Proposition 3.10 (D´ eriv´ ee d’un quotient). Si u et v sont toutes deux des fonctions de x, alors, partout o` u

¹_v

est d´ efinie :

d u

v

= vdu

−

udv v

² .

Sous forme de taux de variation instantan´ e

d

_u

v

dx = v

^du_dx−

u

_dx^dv

v

² .

Note 3.4. A l’aide des autres notations pour la d´ ` eriv´ ee, on peut ´ ecrire la formule donnant la d´ eriv´ ee d’un quotient de la mani` ere suivante :

u v

0

= u

⁰

v

−

uv

⁰

v

²

f (x)

g(x)

!0

= f

⁰

(x)g(x)

−

f (x)g

⁰

( x)

f (x)

2

Preuve alg´ ebrique. On utilise directement avec la d´ efinition dy = f (x + dx)

−

f ( x). La fonction ` a d´ eriver est f ( x) =

^u_v

. Si x varie de dx, alors u et v varient respectivement de du et dv pour devenir u + du et v + dv.

d u

v

= u + du v + dv

−

u

v

= v(u + du)

−

u(v + dv) v(v + dv)

= (vu + v du)

−

(uv + u dv) v

²

+ vdv

= vu + v du

−

uv

−

u dv v

²

+ vdv

= v du

−

u dv v

²

+ vdv

≈

v du

−

u dv v

²

On peut diviser par dx pour obtenir le r´ esultat voulu : d

_u

v

dx = vdu

−

udv

v

²

dx = v

^du_dx−

u

_dx^dv

v

² .

Preuve graphique. Si u est l’aide d’un rectangle dont l’un des cˆ ot´ es est v, la longueur de l’autre cˆ ot´ e est

^u_v

. On veut d´ eterminer la variation d(u/v) ` a partie des variation du de u et dv de v. Ces diff´ erentes longueurs sont reli´ ees comme dans l’illustration suivante.

u/v v

d(u/v) dv

u

dud(u/v)

udv v

vd(u/v)

La variation de l’aire u est la r´ egion en gris : elle est approximativement la somme des deux rectangles d’aires

^udv_v

et vd(u/v) (obtenues en multipliant les deux cˆ ot´ es de ces rectangles). On trouve donc que

du

≈

udv

v + vd(u/v).

On isole d(u/v) qui est ce que l’on veut d´ eterminer. ` A partir de la derni` ere approxi- mation, on trouve

vd(u/v) = udv

−

du.

On divise chaque membre de cette derni` ere ´ egalit´ e par v et on met au d´ enominateur commun :

d(u/v) = udv v

² −

du

v = udv

−

vdu v

²

On divise enfin par dx comme dans l’argument alg´ ebrique pour obtenir le r´ esultat

voulu.

^x2+2x+3

x²+x−1

!0

= x²+8x+5 (x²+x−1)²

Exemple 3.9. En utilisant la propri´ et´ e 3.10 permettant de calculer la d´ eriv´ ee d’un quotient, on trouve que









x

⁴

+ 1 x

⁶

+ 1









0

=

x

⁴

+ 1

0

x

⁶

+ 1

−

x

⁴

+ 1 x

⁶

+ 1

0

x

⁶

+ 1

2

= 4x

³

x

⁶

+ 1

−

x

⁴

+ 1 6x

⁵

x

⁶

+ 1

2

=

4x

⁹

+ 4x

³

−

6x

⁹

+ 6x

⁵

x

⁶

+ 1

2

=

−

2x

⁹

+ 6x

⁵

+ 4x

³

x

⁶

+ 1

2

= x

³

(−2x

⁶

+ 6x

²

+ 4) x

⁶

+ 1

2

Exemple 3.10. Dans cet exemple, on utilise la formule de d´ erivation d’un quo- tient pour d´ eriver une fonction et on simplifie ensuite le r´ esultat.

x

²

+ 1

√

x

!⁰

=

x

²

+ 1

0√

x

−

x

²

+ 1

√

x

0

√

x

2

= 2x

√

x

−

x

²

+ 1

¹

2√ x

x

= 2x

√

x

−^x2+1

2√ x

x

=

2x√

x

(

^2√x

)

^−(x2+1) 2√

x

x

= 2x

√

x

2

√

x

−

(x

²

+ 1) 2x

√

x

= 4x

√

x

√

x

−

x

²−

1 2x

√

x

= 4x

²−

x

²−

1 2x

√

x

= 3x

²−

1 2x

√

x

3.2.7 Utilisation de la d´ eriv´ ee d’un quotient pour d´ emontrer d’autre formules de d´ erivation

Proposition 3.11 (Inverse d’une puissance).

d

₁

xⁿ

dx = d x

⁻ⁿ

dx =

−nx⁻ⁿ⁻¹

D´ emonstration. On d´ etermine x

⁻ⁿ0

de deux mani` ere diff´ erentes en utilisent l’iden- tit´ e alg´ ebrique et ` a l’aide de la formule pour la d´ eriv´ ee d’un produit.

x

ⁿ

x

⁻ⁿ

= 1.

En calculant la d´ eriv´ ee de chaque membre de cette ´ egalit´ e, on trouve que x

ⁿ

x

⁻ⁿ0

= (1)

⁰

= 0 parce que (C)

⁰

= 0 pour n’importe quelle constante.

On peut aussi utiliser la formule donnant la d´ eriv´ ee d’un produit : x

ⁿ

x

⁻ⁿ⁰

= x

⁻ⁿ

x

ⁿ⁰

+ x

ⁿ

x

⁻ⁿ⁰

= x

⁻ⁿ

nx

ⁿ⁻¹

+ x

ⁿ

x

⁻ⁿ⁰

.

Comme on calcule la d´ eriv´ ee d’une mˆ eme fonction exprim´ ee de deux mani` eres dif- f´ erentes, les deux r´ esultats doivent ˆ etre ´ egaux. On doit donc avoir que

x

⁻ⁿ

nx

ⁿ⁻¹

+ x

ⁿ

x

⁻ⁿ0

= 0 On isole

x

⁻ⁿ0

dans cette derni` ere ´ egalit´ e : x

⁻ⁿ0

=

−n

x

⁻ⁿ

x

ⁿ⁻¹

x

ⁿ

dx On trouve enfin, en simplifiant l’expression obtenue :

x

⁻ⁿ0

=

−nx⁻ⁿ⁻¹,

ce qui est le r´ esultat d´ esir´ e.

D´ emonstration. Preuve ` a l’aide de la formule de d´ erivation d’un quotient.

d

₁

xⁿ

dx = (1)

⁰

x

ⁿ−

(1)(x

ⁿ

)

⁰

(x

ⁿ

)

²

= (0)x

ⁿ−

nx

ⁿ⁻¹

x

²ⁿ

=

−nxⁿ⁻¹

x

²ⁿ

=

−nx^(n−1)−2n

=

−nx⁻ⁿ⁻¹

Exemple 3.11.

3 x

⁵

!0

= 3 x

⁻⁵0

= 3(−5)x

⁻⁶

=

−

15 x

⁶

On peut remarquer que les formules trouv´ ees dans les propositions 3.4, 3.11 et 3.2 sont toutes des cas particuliers d’un sch´ ema plus g´ en´ eral :

d x

^q

dx = rx

^q−1

pour q un exposant rationnel quelconque. Ce sch´ ema est valable.

On verra plus loin que cette formule de d´ erivation est aussi valable pour n’importe

quel exposant r´ eel r.

++Ajouter note et exemple au

sujet de l’utilisation inutile de la r`egle du quotient (et du produit)

3.2.8 R` egle de chaine

Faire rappel sur les fonctions compos´ees

La r` egle de chaine est la formule de d´ erivation qui permet de d´ eriver des fonctions compos´ ees. Elle permet de calcul un ´ eventail beaucoup plus grand de fonctions, notamment plusieurs fonctions aux d´ efinitions assez simples que les formules de

d´ erivations obtenues ` a la section pr´ ec´ edente ne nous permettraient pas de d´ eriver.

++Ajouter explication en terme d’engrenages

Proposition 3.12. Si z est fonction de y et y est une fonction de x, alors le taux de variation de z en fonction de x est le produit des taux de variations :

dz dx = dz

dy dy dx

.

D´ emonstration.

dz dy

dy dx = dz

dx

√ x²+10

(3x+1)¹⁰⁰0

(x³+x)¹⁰0

√3

3x+1

√3

x²+1

(x+1)³(x+2)²0

(x+1)³ (x+2)²

!0

(x−1)¹⁰ (x+1)¹⁰

!0

x²

√ x+10

=x(5x+4) 2

√ x+1 ajouter exemple de fonctions im- briqu´ees :

q 1+p

1+x²

Exemple 3.12. Soient z = y

³

+ 1 et y =

√

x deux fonctions. On aimerait connaitre le taux de variation de z par rapport ` a x. On utilise la r` egle de chaine. Noter que l’on veut le taux de variation de z en fonction de x. Comme z

⁰

= 3y

²

et y

⁰

=

₂^√1_x

, on a que

dz dx = dz

dy dy dx

= 3y

²









1 2

√

x









Cette expression n’exprime pas le taux de variation de z en fonction de x. On peut cependant exprimer dz

dy = 3y

²

en fonction de x en substituant

√

x ` a y dans

l’expression obtenue.

3y

²









1 2

√

x









= 3

√

x

2







1 2

√

x









= (3x)









1 2

√

x









= 3x 2

√

x

= 3

√

x 2

Note 3.5. La r` egle de chaine peut aussi s’´ ecrire avec la notation f (x). La d´ eriv´ ee d’une fonction compos´ ee f (g(x)) est

f (g( x))

= f

⁰

g(x)

g

⁰

(x).

Voyons pourquoi cette forme de la r` egle de chaine n’est qu’une reformulation de 3.12. Si on pose que z = f (g(x)) et que y = g( x), on a que z = f (y). En appliquant la r` egle de chaine, on a que

f (g(x))

0

= dz dx = dz

dy dy dx Comme

_dx^dy

= g

⁰

( x) et

^dz_dy

= f

⁰

(y), on doit avoir que

f (g( x))

0

= f

⁰

(y)g

⁰

(x)

Enfin, on substitue y = g( x), dans cette derni` ere ´ egalit´ e pour exprimer la d´ eriv´ ee uniquement en fonction de x :

f (g(x))

= f

⁰

(g(x))g

⁰

( x).

Si on pose u = g(x), on peut aussi ´ ecrire la r` egle de chaˆıne ´ ecrite de la mani` ere suivante :

f (u)

= f

⁰

(u)u

⁰.

Plusieurs formulaires de d´ erivations utilisent cette mani` ere d’´ ecrire.

Exemple 3.13. Soit la fonction d´ efinie par z = (2x

−

3)

⁸

. On peut voit cette fonc-

tion comme la compos´ ee de la fonction f (y) = y

⁸

et g(x) = 2x

−

3. La d´ eriv´ ee de la

compos´ ee de f et g est

f (g(x))

⁰

= f

⁰

(g( x))g

⁰

(x)

= f

⁰

(y)g

⁰

(x)

= 8y

⁷

(2x

−

3)

⁰

= 8(2x

−

3)

⁷

(2)

= 16(2x

−

3)

⁷

Comme la r` egle de chaine est tr` es souvent utilis´ ee, on ne fait habituellement pas autant d’´ etapes dans le calcul d’une d´ eriv´ e avec la r` egle de chaine. Le r´ esultat d’un d´ eriv´ ee comme celle du dernier exemple peut ˆ etre calcul´ e et directement sans ´ etapes interm´ ediaires — apr` es un entrainement suffisant !

3.2.9 Utilisation de la r` egle de chaine ` a l’aide d’une variable interm´ ediaire

La mani` ere suivante d’´ ecrire la r` egle de chaine permet de simplifier le calcul de la d´ eriv´ ee en pratique. Si u = g(x), alors

f(u)

0

= f

⁰

(u) u

⁰

Exemple 3.14.

(x

²

+ 1)

⁵0

= u

⁵0

si u = x

²

+ 1

= 5u

⁴

u

⁰

r` egle de chaine

= 5(x

²

+ 1)

⁴

(x

²

+ 1)

⁰

car u = x

²

+ 1

= 5(x

²

+ 1)

⁴

(2x)

= 10x( x

²

+ 1)

⁴

Exemple 3.15.

5 (2x + 1)

²

!0

= 5(2x + 1)

⁻²

= 5(u)

⁻²

si u = 2x + 1

= 5(

−

2)(u)

⁻³

u

⁰

r` egle de chaine

= 5(−2)(2x + 1)

⁻³

(2x + 1)

⁰

car u = 2x + 1

=

−10

(2x + 1)

³

(2) car u

⁰

= 2

=

−20

(2x + 1)

³

En pratique, la variable interm´ ediaire u sera souvent choisie comme ´ etant

«

main

»

au

tableau ou

«

doigt

»

sur papier pour ´ eviter d’´ ecrire explicitement u ` a chaque d´ eriv´ ee.

Cela permet de d´ eriver efficacement des expressions simples ` a l’aide de la r` egle de chaine. Pour ˆ etre ` a l’aise dans un contexte plus avanc´ e o` u on doit bien maitriser le calcul diff´ erentiel, il faut pratiquer suffisamment pour d´ eriver directement des fonctions simples comme dans le cas suivant :

3x

²

+ x + 1

4⁰

= 4

3x

²

+ x + 1

3

(6x + 1).

3.3 Application de la r` egle de chaˆıne : d´ erivation implicite

Il est possible de d´ efinir une fonction par une ´ equation. Par exemple : y = 1

x y = x

²

On pourrait aussi d´ efinir ces fonctions par les ´ equations suivantes xy = 1 x

²−

y = 0.

Dans une telle d´ efinition implicite, il faut cependant sp´ ecifier quelle variable est fonction de l’autre. Par habitude, nous prenons souvent y comme fonction de x.

Nous savons cependant qu’une ´ equation ne peut pas toujours ˆ etre vue comme une d´ efinition implicite d’une fonction. Par exemple l’´ equation du cercle de rayon 1

x

²

+ y

²

= 1

ou encore celle d’une hyperbole

x

²−

y

²

= 1

Mˆ eme si ces ´ equations ´ etablissent des relations entre les variables x et y sans que ces relations soient des fonctions, il est possible de d´ eterminer la pente des tangentes

`

a ces courbes ` a l’aide de la d´ eriv´ ee en supposant qu’il est possible localement de supposer que ces courbes sont le graphe d’une fonction d´ efinie implicitement, c’est-

`

a-dire que si on limite la courbe ` a une section assez petite de la courbe pr` es d’un

point de tangence, cette section peut ˆ etre d´ ecrite par une fonction.

Faire exemple cerclex²+y²=1et points sur le cercle (1,0), (-1,0),

^{√ √}

2 2

=

connaitre la pente de la tangente au point ( x, y).

( x, y)

On suppose que localement y est une fonction de x, c’est-` a-dire qu’a l’int´ erieur d’un cercle assez petit autour du point (x, y), la courbe d´ efinie par l’´ equation de l’hyperbole peut ˆ etre consid´ er´ ee comme le graphe d’une fonction y = f ( x) — car ` a l’int´ erieur du cercle, pour chaque valeur de x il y a une seule valeur correspondante en y.

Comme le point (x, y) est sur la courbe, ses coordonn´ ees doivent satisfaire l’´ equa- tion

x

²−

y

²

= 1.

Si on consid` ere chaque membre de cette ´ egalit´ e comme une fonction, comme elles sont ´ egale, en les d´ erivant ont doit obtenir le mˆ eme r´ esultat :

x

²−

y

²0

= 1

0

.

2x

−

2yy

⁰

= 0.

Notez le

«

y

⁰»

: c’est la

«

d´ eriv´ ee de l’int´ erieur

»

dans l’application de la r` egle de chaine. En effet, on pourrait ´ ecrire y

²

comme ( f ( x))

²

puisque y = f ( x). En d´ erivant sous cette forme avec la r` egle de chaine on obtient

f ( x)

20

= 2 f (x) f

⁰

(x).

Comme 2 f ( x) f

⁰

(x) = 2yy

⁰

, on voit que la d´ eriv´ ee de y

²

par rapport ` a x est bien 2yy

⁰

. Enfin, on isole y

⁰

dans l’´ egalit´ e 2x

−

2yy

⁰

= 0 pour obtenir une expression donnant la pente de la tangente en fonction des coordonn´ ees x et y du point (x, y) :

y

⁰

=

−

2x

−

2y = x y

On peut utiliser ce r´ esultat pour d´ eterminer la pente de la tangente au point 2,

√

3

. On v´ erifie que ce point est bien sur l’hyperbole : 2

²−√

3

2

= 4

−

3 = 1.

(Si le point n’´ etait pas sur l’hyperbole, l’hypoth` ese de d´ epart de ce calcul serait

fausse et la conclusion y

⁰

=

^x_y

le serait aussi !)

La pente de la tangente au point donn´ e est donc y

⁰

= 2

√

3

.

Exemple 3.17. D´ eterminons la pente de la tangente ` a la courbe d´ efinie par l’´ equation

x

³

+ xy = 1 au point (1, 0).

Premi` erement, v´ erifions que le point (1, 0) est bien sur la courbe : c’est le cas car en substituant les coordonn´ ees x = 1 et y = 0 dans l’´ equation, l’´ egalit´ e est vraie :

(1)

³

+ (1)(0) = 1.

Ensuite, on d´ etermine la pente de la tangente

^dy_dx

en un point (x, y) quelconque de la courbe. On suppose que pr` es du point (x, y), la courbe peut ˆ etre d´ ecrite par une fonction y = f ( x). Dans ce cas, on peut d´ eviver chaque membre de l’´ equation d´ efinissant la courbe

x

³

+ xy = 1 Equation de la courbe ´ x

³

+ xy

0

= 1

0

D´ eriv´ ee de chaque membre de l’´ egalit´ e x

³

+ xy

0

= 1

0

D´ eriv´ ee d’une somme

3x

²

+ (x)

⁰

y + xy

⁰

= 0 D´ eriv´ ee d’un produit et d’une constante 3x

²

+ y + xy

⁰

= 0 ( x)

⁰

= 1

On isole y

⁰

=

^dy_dx

dans cette derni` ere ´ egalit´ e : 3x

²

+ y + xy

⁰

= 0 =

⇒

y

⁰

= dy

dx =

−

3x

²

+ y x

.

La pente de la tangente au point (1, 0) peut enfin ˆ etre calcul´ ee en substituant x = 1 et y = 0 dans cette derni` ere expression :

dy dx

_(x,y)=(1,0)

=

−

3x

²

+ y x

_x=1,y=0

=

−

3(1)

²

+ (0) (1) =

−3.

3.3.1 D´ erivation implicite pour trouver des formules de d´ erivations

On peut utiliser la d´ erivation implicite dans les preuves de certaines propositions — cela arrivera ` a plusieurs reprise dans la suite du cours. Voyons un exemple typique : d´ emontrons la formule permettant de d´ eriver une puissance fractionnaire de x.

Proposition 3.13.

x

^1/n0

= 1

x

¹ⁿ⁻¹.

D´ emonstration. On a la relation suivante : x

^1/nn

= x.

Si on d´ erive chaque membre de cette ´ egalit´ e, on a x

^1/nn0

= (x)

⁰,

c’est-` a-dire, en utilisant la r` egle de chaine pour d´ eriver le membre de gauche : n

x

^1/nn−1

x

^1/n0

= 1.

On isole la d´ eriv´ ee recherch´ ee : x

^1/n0

= 1

n x

^1/nn−1.

On simplifiant le r´ esultat obtenu, on trouve enfin la formule d´ esir´ ee : x

^1/n0

= 1

n x

¹ⁿ⁻¹.

En combinant cette derni` ere formule de d´ erivation avec la r` egle de chaine, on peut enfin d´ emontrer que le sch´ ema g´ en´ eral de d´ erivation (x

^q

)

⁰

= qx

^q−1

est valable pour les puissances rationnelles.

Proposition 3.14. La formule de d´ erivation d’une puissance d

x

^q

dx = qx

^q−1

est valable pour tout nombre rationnel q.

D´ emonstration. Si q =

_mⁿ

est un nombre rationnel quelconque, alors x

^q0

=

x

^n/m0

=

x

ⁿ1/m0

Propri´ et´ es des exposants

= 1

m x

ⁿ_m¹−1

x

ⁿ0

R` egle de chaine

= 1

m x

ⁿ_m¹−1

nx

ⁿ⁻¹

D´ eriv´ ee d’une puissance

= n

m x

ⁿ_m¹−1

x

ⁿ⁻¹

1

A BC = B A C

= n

m x

^mn−n

x

ⁿ⁻¹

Propri´ et´ es des exposants

= n

m x

^mn−n+n−1

Propri´ et´ es des exposants

= n

m x

^mn−1

A

−

A = 0

= qx

^q−1.

q = n

m

3.4 Application de la r` egle de chaˆıne : taux li´ es

Ajouter exemple type ´echelle

La r` egle de chaine permet l’´ etude de taux de variation de variables li´ ees entre elles par une relation, comme dans la section pr´ ec´ edente. Si y d´ epend de x qui d´ epend du temps t, alors y d´ epend du temps. La relation entre les taux de variations de y de x par rapport au temps est donn´ ee par la r` egle de chaˆıne :

dy dt = dy

dx dx

dt

.

Cette relation permet de d´ eterminer le taux de variation de y par rapport au temps

`

a partir du taux de variation de x par rapport au temps (ou r´ eciproquement) si on connait la fonction qui lie x et y.

Exemple 3.18. Imaginons un cercle dont le rayon r varie dans le temps. Si le rayon varie, l’aide du cercle doit varier elle aussi car les deux quantit´ es sont reli´ es par l’´ equation

A =

πr².

r

On a donc une situation o` u l’aire A est fonction du rayon r, lui-mˆ eme fonction du temps. Pour connaitre le taux de variation de l’aire en fonction du temps, on utilise la r` egle de chaine :

dA dt = dA

dr dr dt dA

dt = 2πr dr dt

Si le taux de variation du rayon

^dr_dt

est de 55

^cm/s

et que le rayon du cercle est de 10 cm, le taux de variation de l’aire est

dA

dt = 2πr|

_{r=10 cm}

(5

^cm/s

) = 2π(10 cm)(5

^cm/s

) = 100π

^cm2/s≈

314.16

^cm2/s.

Notons que pour le taux de variation du rayon

^dr_dt

est de 55

^cm/s

et que le rayon du cercle est diff´ erent, par exemple de 100 cm, le taux de variation de l’aire est

dA

dt = 2πr|

_{r=100 cm}

(5

^cm/s

) = 2π(100 cm)(5

^cm/s

) = 1000π

^cm2/s≈

3141.59

^cm2/s

On voit que le taux de variation de l’aire d´ epend du rayon du cercle. On explique cela g´ eom´ etriquement par le fait que pour un petit cercle, un accroissement de son rayon de 5 cm aura un grand effet sur l’aire, alors que pour un grand cercle, un mˆ eme accroissement du rayon aura peu d’effet sur l’aire.

Exemple 3.19. Une poutre de 5 m de longueur glisse le long d’un mur vertical ;

le point de contact entre la poutre et le mur descend vers le sol ` a une vitesse de

1

^m

/

s

. ` A quel vitesse le point de contact de la poutre avec le sol s’´ eloigne-t-il du

5 m 1

^m

/

s

?

On commence par trouver la relation entre la hauteur h de l’´ echelle le long du mur et la distance x entre le pied de l’´ echelle et le mur.

h 5 m

x

La relation entre la hauteur h et la distance x est donn´ ee par la relation de Py- thagore :

h

²

+ x

²

= 5

²

On peut d´ eterminer h en fonction de x ou inversement car on ne consid` ere que les hauteur et distance positives. On trouve en isolant

h =

p

25

−

x

²

et x =

p

25

−

h

².

La donn´ ee du probl` eme nous indique que la vitesse ` a laquelle descend le haut de l’´ echelle est -1

^m

/

s

(comme h d´ ecroit, la vitesse doit ˆ etre n´ egative) :

dh dt =

−1

On cherche la vitesse de croissance de x, c’est-` a-dire

^dx_dt

.

Par la r` egle de chaˆıne, on a la relation suivante entre ces deux vitesses : dx

dt = dx dh

dh

dt

.

On peut calculer

^dx_dh

` a l’aide des formules de d´ erivation : dx

dh = d dh

p

25

−

h

²

= 1

2

√

25

−

h

²

(−2h)

=

−

2h 2

√

25

−

h

²

=

−

h

√

25

−

h

²

On a donc que

dx

dt =

−

h

√

25

−

h

²

dh dt

.

Quand x = 3 m, la hauteur est

h =

p

25

−

(3)

²

= 4.

On substitue cette valeur et la valeur donn´ ee de

^dh_dt

dans la relation trouv´ ee : dx

dt =

−

h

√

25

−

h

²

_h=4

dh dt

=

−

4

√

25

−

4

²

(

−

1)

= 4 3

.

Le bas de la poutre s’´ eloigne donc du mur ` a

⁴₃^m

/

s

.

3.5 D´ eriv´ ee d’ordre sup´ erieur

Le

«

taux de changements du taux de changement

»

est une autre quantit´ e impor- tante pouvant nous donner de l’information sur le comportement d’une fonction. En dynamique, elle correspond ` a l’acc´ el´ eration, qui est le taux de changement de la vitesse, elle mˆ eme le taux de changement de la position.

Comme le taux de changement d’une fonction un point de son graphe est donn´ ee par la d´ eriv´ ee de la fonction, le taux de changement du taux de changement est donn´ ee par la d´ eriv´ ee de la d´ eriv´ ee. On peut voir la d´ eriv´ ee d’une fonction comme une nouvelle fonction, que l’on peut d´ eriver elle aussi.

Par exemple, si on prend f (x) = x

³

, le taux de changement est donn´ ee par f

⁰

(x) = 3x

²

. Le taux de changement de f

⁰

est donc donn´ e par la d´ eriv´ ee seconde f

⁰⁰

( x) = 6x.

D´ efinition 3.1. On appelle d´ eriv´ ee seconde d’une fonction la d´ eriv´ ee de sa d´ eriv´ ee

f

⁰⁰

(x)

^def

= f

⁰

(x)

0.

On d´ efini de mani` ere similaire la d´ eriv´ ee troisi` eme f

⁰⁰⁰

(x) = f

⁰⁰

(x)

0

, la d´ eri-

On appelle ces d´ eriv´ ees les d´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur.

Exemple 3.20. Calculer la d´ eriv´ ee troisi` eme de f (x) =

√

x.

f (x) =

√

x f

⁰

(x) = 1

2

√

x f

⁰⁰

(x) =









1 2

√

x









0

= 1 2

x

^−1/20

=

−

1 2

−1

2

!

x

^−3/2

=

−

1 4

√

x

³

f

⁰⁰⁰

(x) =









−

1 4

√

x

³









0

=

−

1 4

x

^−3/20

=

−

1 4









−

3 2









x

^−5/2

= 3 8

√

x

⁵

Comme on peut r´ ep´ eter la d´ erivation autant de fois que l’on veut, l’accumulation de

«

’

»

peut alourdir la notation. Il est plus pratique d’avoir une notation qui indique plus simplement le nombre de fois qu’une fonction est d´ eriv´ ee.

D´ efinition 3.2.

D´ eriv´ ee premi` ere : f

⁽¹⁾

( x)

^def

= f

⁰

(x)

D´ eriv´ ee seconde : f

⁽²⁾

( x)

^def

= f

⁰⁰

(x) = f

⁰

(x)

0

D´ eriv´ ee troisi` eme : f

⁽³⁾

( x)

^def

= f

⁰⁰⁰

(x) =

f

⁽²⁾

(x)

0

D´ eriv´ ee quatri` eme : f

⁽⁴⁾

( x)

^def

= f

⁰⁰⁰⁰

( x) =

f

⁽³⁾

(x)

0

D´ eriv´ ee cinqui` eme : f

⁽⁵⁾

( x)

^def

=

f

⁽⁴⁾

(x)

0

...

D´ eriv´ ee n-i` eme : f

⁽ⁿ⁾

( x)

^def

=

f

⁽ⁿ⁻¹⁾

(x)

0

La d´ eriv´ ee d’ordre quelconque f

⁽ⁿ⁾

est appel´ ee d´ eriv´ ee n-i` eme.Par convention, la

«

d´ eriv´ ee 0-ieme

»

est la fonction elle mˆ eme : f

⁽⁰⁾

(x)

^def

= f (x).

Les d´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur ont une notation dans toute les variantes de la nota- tion pour la d´ eriv´ ee. Le tableau suivant offre un panorama de ces diff´ erentes nota- tions.

Notations pour la d´ eriv´ ee seconde f

⁰⁰

(x) f

⁽²⁾

(x) y

⁰⁰

x

²00

d

²

y dx

²

d

²

f (x) dx

²

d

²

x

²

dx

²

f

⁰⁰

(a) f

⁽²⁾

(a) y

⁰⁰|_x=a

x

²00 _x=a

d

²

y dx

² _x=a

d

²

f (x) dx

²

_x=a

d

²

x

²

dx

²

_x=a