4 D´ eriv´ ee de fonctions transcendantes

4 D´ eriv´ ee de fonctions transcendantes

4.1 Fonctions trigonom´ etriques Q.4.1

Positionner les points correspondants aux angles en radian suivants sur un cercle de rayon 1.

a) π 6 b) 5π

6

c) 8π 6 d) π

4

e) 3π 4 f) 7π

4

Q.4.2

Evaluer les expressions suivantes ´

4

3 θ

a) sin θ b) cos θ

c) tan θ d) sec θ

e) csc θ f) cot θ

Q.4.3

Evaluer, sans calculatrice. ´ a) sin π

2 b) sin π 3

c) sin π 6 d) sin π 4

e) cos π 2 f) cos π 3

g) cos π 6 h) cos π 4

Q.4.4

Evaluer, sans calculatrice. ´ a) tan π

2 b) tan π 3

c) tan π 6 d) tan π 4

e) sec π 2 f) sec π 3

g) sec π 6 h) sec π 4

Q.4.5

Evaluer, sans calculatrice. ´ a) sin 2π

3 b) sin 5π

3

c) sin 5π 4 d) sin 3π

2

e) sin 11π 6 f) sin 5π 6

Q.4.6

Evaluer, sans calculatrice. ´ a) cos 4π

3 b) cos 5π

4

c) cos 7π 4 d) cos 3π

2

e) cos 5π 6 f) cos 11π

6

Q.4.7

Evaluer, sans calculatrice. ´

a) tan

− 4π 3

b) sec 3π 4

c) csc

− π 2

d) cot

− π 4

e) csc 7π 6 f) cot 11π

6

Q.4.8

A l’aide des identit´ ` es trigonom´ etriques pour sin(α + β) et cos(α + β ) trouver les identit´ es pour

a) sin(α − β ) b) cos(α − β)

c) sin(2θ) d) cos(2θ)

Q.4.9

D´ emontrer les identit´ es trigonom´ etriques suivantes.

a) sin ² θ = 1 − cos 2θ 2 b) cos ² θ = 1 + cos 2θ

2

c) sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin ³ θ d) cos ⁴ θ − sin ⁴ θ = cos 2θ

e) tan θ

2 = sin θ 1 + cos θ

Q.4.10

Soit les fonctions suivante :

f (x) = sin x; g(x) = x ² + 3x et h(x) = 1 1 − x ²

Ecrire les ´ compositions suivante et simplifier si possible.

a) f (g(x)) b) g(f (x)) c) h(f (x))

4.2 D´ eriv´ ee de fonctions trigonom´ etriques Q.4.11

Trouver (sin u) ⁰ et (cos u) ⁰ si la variable u donne l’angle en degr´ e.

Q.4.12

D´ emontrer que (cos x) ⁰ = − sin x.

a) En utilisant l’identit´ e cos x = p

1 − sin ² x.

b) En utilisant les identit´ es : sin x = cos π

2 − x

et cos x = sin π 2 − x

Q.4.13

Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.

a) y = x ³ sin x b) y = cos 3x − 3 cos x c) y = sec ² x

d) y = cot 3x csc 3x e) y = tan

x ² x + 1

f) y = 1 + csc x ² 1 − cot x ² g) y = cos tan x ² h) y = cot x − 1

x − 4

Q.4.14

Trouver dy dx .

a) x sin x + y cos y = 0 b) sin ⁴ xy + xy = 0

Q.4.15

Etudier la croissance et la concavit´ ´ e des fonctions suivantes et tracer leur graphique.

a) f (x) = x

2 + sin x, o` u x ∈ [0, 2π]

b) f (x) = sin x + cos x, o` u x ∈ [0, 2π]

Q.4.16

On lance un projectile avec un canon selon une vitesse initiale de v ₀ m/s. Si on n´ eglige la r´ esistance de l’air, la port´ ee (la distance horizontale parcourue par le projectile) est donn´ ee par la fonction

R(θ) = v ₀ ² sin 2θ g

o` u g = 9,8 m/s ² et θ est l’angle d’inclinaison du canon. Se- lon quel angle doit-on placer le canon pour avoir une port´ ee maximale ?

Q.4.17

Les cˆ ot´ es congrus d’un triangle isoc` ele mesurent 5 cm. Trou- ver l’angle θ entre ces deux cˆ ot´ es qui maximise l’aire du triangle.

Q.4.18

On fabrique une auge ` a partir d’une feuille de m´ etal de 120 cm de largeur. De chaque cˆ ot´ e, on replie une bande de 40 cm selon un angle θ. Quel doit ˆ etre cet angle pour que l’auge puisse contenir un volume maximal ?

4.3 Fonctions trigonom´ etriques inverses Q.4.19

Sans calculatrice, ´ evaluer les nombres suivants en radians.

a) arcsin 1 2 b) arccos

− 1 2

c) arctan (−1) d) arcsec 2

e) arccot √ 3

f) arcsin (sin 5) g) tan (arctan 3) h) lim

x→∞ arctan x

Q.4.20

R´ esoudre les ´ equation suivantes.

a) sin x = cos x b) 2 sin x ² − 1

= √ 2

Q.4.21

Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.

a) y = arcsin x ³ − 3x b) y = (x − arctan 2x) ⁵ c) y = arccsc x ²

d) y = x arccos 2x e) y = arcsin √

x f) y = 2

arccot x

Q.4.22

Trouver dy dx . a) arctan y

x = y ² b) arccos y = arcsin x

Q.4.23

Trouver les valeurs de x pour lesquelles la fonction f (x) = arcsin 3x admet une droite tangente perpendiculaire ` a la droite y = 3 − x/5.

Q.4.24

Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.

a) y = x arctan x b) y = arccos 2x

1 − x ²

c) y = arcsec x ² + 1

Q.4.25

A quelle distance de la ligne des buts un ailier gauche de `

hockey sur table doit-il lancer pour maximiser ses chances de

marquer si le but mesure 5 cm de largeur et que le joueur est

restreint ` a un rail situ´ e ` a 8 cm du poteau le plus pr` es ? On

suppose que le joueur maximise ses chances de marquer si

l’angle d’ouverture vers le but est maximal.

4.4 Fonctions exponentielles et logarith- miques

Q.4.26

Evaluer et simplifier les expressions suivantes. ´ a) −4 ³

b) (−4) ³ c) 2 ⁰ + 0 ² d) (−2) ⁵ + (−5) ²

e) −2 ⁵ − 5 ² f) 2 ³ g) 2 ⁻³

h) (−2) ³ + 3 ⁻² i) 2 ³ + 3 ² j) (2 + 3) ⁴ k)

1 2

−2

l)

− 1 2

2

Q.4.27

R´ e´ ecrire les ´ egalit´ e suivantes ` a l’aide d’un logarithme.

a) 5 ³ = 125 b) 2 ¹⁰ = 1024

c) √ 81 = 9 d) 7 ⁻⁴ = 1

2401

Q.4.28

R´ e´ ecrire les ´ egalit´ e suivantes ` a l’aide d’un exposant.

a) log ₇ 49 = 2 b) log ₂ 1

64 = −6

c) log ₈ 2 = 1 3 d) log

5

625 = −4

Q.4.29

Evaluer sans la calculatrice. ´ a) log ₂ 64

b) log ₂ 1

8

c) log ₂ 2048 d) log ₂ 1

e) log 1000 f) log 0,000001

Q.4.30

Evaluer sans la calculatrice. ´ a) log ₂ 2 ⁷

b) log ₂ (2 ¹¹ · 2 ⁵ ) c) log ₃ 9

81

d) 2 ^log

¹¹

e) log ₂ 5 · log ₅ 128 f) log ₇ 32

log ₇ 2

Q.4.31

Evaluer sans la calculatrice. ´

a) log ₁₀ 0,00001 b) log ₈ 2 c) log ₂ 1 d) log ₂ 2 ⁹ e) log ₃ (3 ⁵ · 9 ³ ) f) log ₂ 1024

128

g) 5 ^log

¹⁴

h) log ₂ 3 · log ₃ 512 i) log ₅ 81

log ₅ 3 j) log ₁₆ 64

Q.4.32

Evaluer, sans calculatrice, les nombres suivants sachant que ´ log ₃ 2 ≈ 0,63.

a) log ₁₀ 1000 b) log ₁₀₀ 10

c) log ₃ 1 9 d) log ₃ 54

Q.4.33

R´ esoudre les ´ equations suivantes.

a) log ₂ x = 5 b) 3 ^x = 100

c) 5 · 3 ^x = 2 ^x+1

d) 2 log ₄ x − log ₄ x − 1 = 1

Q.4.34

Soit les fonctions suivante :

f (x) = e ^x ; g(x) = 3x ² + x + 1; h(x) = 4 ^x et k(x) = log ₂ x Ecrire et simplifier les compositions suivantes ´

a) f (g(x)) b) g(f (x))

c) h(g(x)) d) k(f (x))

e) h(k(x))

4.5 D´ eriv´ ee de fonction exp. et log.

Q.4.35

Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.

a) y = 3 ^x + 3 ^−x + x ³ + 3x b) y = 8 ²

^+x

c) y = x ³ e ^x d) y = x · 8 ^x

Q.4.36

Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.

a) y = log ₅ x ³ + 1 b) y = ln x

x

c) y = x ⁴ ln ⁵ x d) y = p

log ₃ x

Q.4.37

Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.

a) y = e ^{sin 3x} b) y = cos e ^−x c) y = sin ³ x + 3 ^{sin x} d) y = ln (sec x + tan x)

e) y = e ^x

sec ² 2x f) y = e ^{tan x} − sin x cos x g) y = arccot e ^{3 sec x} h) y = arcsin x ²

ln x

Q.4.38

Trouver dy dx . a) e ^x+y = y ² + 1 b) x ln y − 3xy ² = 0 c) e ^{arctan y} = sin (ln x)

d) sec y ³ + y ² = 3x ⁴ e) x tan (e ^y ) + ln y = 3

Q.4.39

Soit la fonction f (x) = e ^−x

a) Faire l’´ etude compl` ete de croissance, concavit´ e et asymp- totes de cette fonction puis tracer son graphique.

b) Trouver les dimensions du rectangle d’aire maximale que l’on peut inscrire entre l’axe des x et la courbe de f .

Q.4.40

Soit f (x) = x ^k − k ^x , o` u k est une constante positive. Trouver la valeur de k pour laquelle f ⁰ (1) = 0.

Q.4.41

Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.

a) y = e

√ x + √ e ^x

b) y = e

2 x−5

c) y = 2 ³

x

d) y = ln x log x e) y = ln x ⁴

x ⁴

f) y = x + ln ² x ⁵

4.6 Applications Q.4.42

Soit la fonction f (x) = x + ln x ² + 1 a) Montrer que f est toujours croissante.

b) ´ Etudier sa concavit´ e et donner ses points d’inflexion.

Q.4.43

Trouver les extremums absolus des fonctions donn´ ees sur l’intervalle [0, 2π].

a) f (x) = cos ² 2x b) f (x) = 5 sin x + 12 cos x

Q.4.44

Un virus se propage de telle sorte que le nombre de personnes atteintes du virus t semaines apr` es son apparition est donn´ e par N (t) = 5000

2 + 8e ⁻

.

a) Initialement, combien de personnes sont porteuses du virus ?

b) Combien de personnes seront atteintes 4 semaines apr` es son apparition ?

c) Dans combien comptera-t-on 1300 victimes ?

d) ` A long terme, combien de personnes contracteront ce virus ?

e) Quel est le taux de propagation du virus apr` es 2 semaines ? f) Quel est ce taux ` a long terme ?

g) ` A quel moment le virus se propage-t-il le plus rapidement ?

Q.4.45

Trouver l’´ equation de la droite tangente ` a la courbe de f (x) = ln (sin x) au point π

4 , f ( π 4 )

.

Q.4.46

Un cam´ eraman est post´ e ` a 5 m d’une route rectiligne et doit filmer une voiture qui passera sur cette route ` a vitesse constante de 10 m/s. ` A quelle vitesse angulaire (en rad/s) la cam´ era doit-elle pivoter exactement une seconde apr` es que la voiture soit pass´ ee devant elle ?

Q.4.47

Une ´ etune men´ ee aupr` es d’athl` etes olympiques r´ ev` ele que la capacit´ e pulmonaire de ces derniers ob´ eit ` a la fonction

C(x) = 0,8 ln x − 1,8 0,009x

o` u x est l’ˆ age de l’athl` ete. ` A que ˆ age un athl` ete a-t-il une capacit´ e pulmonaire maximale ?

Q.4.48

A l’aide du test de la d´ ` eriv´ ee seconde, trouver les extremums relatifs de f (x) = arctan x + x ²

2 − x.

Q.4.49

Soit f (x) = √

x − 4 et la droite D joignant l’origine et un point quelconque sur la courbe de f . Quelle valeur de x minimise l’angle entre la droite D et l’axe des x ?

Q.4.50

On doit suspendre une lampe au dessus du centre d’une table

carr´ ee de 2 m par 2 m. L’intensit´ e de la lumi` ere ` a un point P

de la table est directement proportionnel au sinus de l’angle

que forme le rayon lumineux avec la table, et inversement

proportionnel ` a la distance entre P et la lampe. ` A quelle

hauteur la lampe doit-elle ˆ etre suspendue pour que l’intensit´ e

lumineuse soit maximale aux quatre coins de la table ?

Q.4.51

Trouver les extremums relatifs des fonctions suivantes.

a) y = ln ² 2x ² − x

. b) y = sin ² x + 2 cos x.

Q.4.52

Quelle est la longueur maximale du tuyau de diam` etre n´ egli- geable qui peut tourner le coin de ce corridor si on n´ eglige la hauteur du corridor ?

4.7 Exercices r´ ecapitulatifs Q.4.53

Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.

a) y = log ₃ √ x b) y =

q ln √

x

c) y = 4 s

1 3

^x

d) y = (e ^x + 2 ^x ) ⁵ e) y = e ^x

e ^x − x f) y = tan ² e ^x

g) y = log (cos 3x − cos ³ 2x) h) y = sin (2 ^x + cos x)

i) y = ln csc 3x ⁴ − 2e ^x j) y = cot √

x +

√ sec x ² k) y = x ²

tan √

x l) y = p

sec (sin x ² ) m) y = ln (arctan e ^x )

n) y = arccot 1 x

o) y = arcsin ln x x

Q.4.54

Vous avez remarqu´ e au num´ ero (38 n) que

arccot 1 x

0

= (arctan x) ⁰ . Montrer, ` a l’aide d’un triangle rectangle, que

arccot 1

x = arctan x.

Q.4.55

Trouver dy dx . a) e ^x ln y = y tan x b) cos x ² y ²

= ln x

c) arcsin e ^y = x √ y

Q.4.56

Soit la fonction

f(x) =



 



 



e ^x − x + k si x < 0

−x ³ si 0 ≤ x < 1 ln x

x si x ≥ 1

a) Quelle doit ˆ etre la valeur de k pour que f soit continue en x = 0 ?

b) Pour cette valeur de k, f est-elle d´ erivable en x = 0 ? c) f est-elle continue en x = 1 ?

d) f est-elle d´ erivable en x = 1 ?

Q.4.57

Utiliser les propri´ et´ es des logarithmes pour d´ eriver f(x) = ln sin ⁵ 2x sec ⁴ 3x

√ x ² + 5

Q.4.58

Utiliser la d´ eriv´ ee logarithmique pour d´ eriver les fonctions suivantes.

a) y = x ^sinx b) y = (sin x) ^{arctan x}

Q.4.59

Soit f (x) = 3e ^4x . Trouver une expression pour f ⁽ⁿ⁾ (x) (la n ^e d´ eriv´ ee de f).

Q.4.60

Faire l’´ etude compl` ete de la fonction f (x) = xe ^x et tracer son graphique.

Q.4.61

On veut atteindre un mur fragile en appuyant une ´ echelle

sur un muret de 2 m de haut situ´ e ` a 1 m du mur. D´ eterminer

l’angle θ qui minimise la longueur de l’´ echelle ` a utiliser.

Q.4.62

On veut placer une cam´ era de surveillance sur le mur de 10

m` etres. ` A quel endroit doit-on la placer pour maximiser son

champ de vision ?

R´ eponses aux exercices

R.4.1

π 6 5π

6

8π 6

π 4 3π

4

7π 4 R.4.2

a) 3 5 b) 4 5 c) 3 4

d) 5 4 e) 5 3 f) 4 3 R.4.3

a) 1

b)

√ 3 2

c) 1 2 d)

√ 2 2

e) 0

f) 1 2

g)

√ 3 2 h)

√ 2 2 R.4.4

a) @ b) √

3

c)

√ 3 3 d) 1

e) @ f) 2

g) 2 √ 3 3 h) √

2 R.4.5

a)

√ 3 2 b) −

√ 3 2

c) −

√ 2 2 d) −1

e) − 1 2 f) 1

2 R.4.6

a) − 1 2 b) −

√ 2 2

c)

√ 2 2 d) 0

e) −

√ 3 2 f)

√ 3 2 R.4.7

a) − √ 3 b) − √

2

c) −1 d) −1

e) −2 f) − √

3

R.4.8

a) sin α cos β − sin β cos α b) cos α cos β + sin α sin β

c) 2 sin θ cos θ d) cos ² θ − sin ² θ R.4.9 Laiss´ e ` a l’´ etudiant.

R.4.10

a) f (g(x)) = sin(x ² + 3x) b) g(f (x)) = sin ² x + 3 sin x

c) h(f (x)) = sec ² x

R.4.11 180

π cos u et − 180 π sin u.

R.4.12 Laiss´ e ` a l’´ etudiant.

R.4.13 a) dy

dx = 3x ² sin x + x ³ cos x b) dy

dx = 3 sin x − 3 sin 3x c) dy

dx = 2 sec ² x tan x d) dy

dx = 3 csc 3x 1 − 2 csc ² 3x e) dy

dx =

x ² + 2x sec ²

x

x+1

(x + 1) ² f) dy

dx = −2x csc x ² 1 + cot x ² + csc x ² (1 − cot x ² ) ²

g) dy

dx = −2x sec ² x ² sin tan x ² h) dy

dx = 3

(x − 4) ² csc ² x − 1

x − 4

R.4.14 a) dy

dx = sin x + x cos x y sin y − cos y b) dy

dx = −y − 4y sin ³ xy cos xy 4x sin ³ xy cos xy + x R.4.15

a)

b)

R.4.16 θ = π 4 R.4.17 θ = π 2 R.4.18 θ = π

3 rad R.4.19

a) π 6 b) 2π

3

c) − π 4 d) π

3

e) π 6 f) 5 − 2π

g) 3 h) π

2 R.4.20

a) x = π

4 + kπ, k ∈ Z b) x = ±

s π

4 + 1 + 2kπ, k ∈ Z ou x = ±

s 3π

4 + +1 + 2kπ, k ∈ Z R.4.21

a) dy

dx = 3x ² − 3 q

1 − (x ³ − 3x) ² b) dy

dx = 5 (x − arctan 2x) ⁴ 4x ² − 1 4x ² + 1 c) dy

dx = −2 x √

x ⁴ − 1 d) dy

dx = arccos 2x − 2x

√ 1 − 4x ² e) dy

dx = 1 2 √

x − x ² f) dy

dx = 2

(x ² + 1) arccot ² x R.4.22

a) dy

dx = −y

2x ² + 2y ³ − x b) dy dx = −

r 1 − y ² 1 − x ² R.4.23 x = −4/15 et x = 4/15

R.4.24

a) dy

dx = arctan x + x 1 + x ² b) dy

dx = − 2x ² + 2 (1 − x ² ) √

x ⁴ − 6x ² + 1 c) dy

dx = 2

(x ² + 1) √ x ² + 2 R.4.25 A 2 ` √

26 cm.

R.4.26 a) -64 b) -64 c) 1 d) -7 e) -57

f) 8 g) 1 8 h) −71

9

i) 17 j) 625 k) 4

l) 1 4 R.4.27

a) log ₅ 125 = 3 b) log ₂ 1024 = 10

c) log ₈₁ 9 = 1 2 d) log ₇ 1

2401 = −4 R.4.28

a) 7 ² = 49 b) 2 ⁻⁶ = 1

64

c) 8

= 2 d)

1 5

⁻⁴

= 625 R.4.29

a) 6 b) −3 c) 11 d) 0 e) 3 f) −6

R.4.30

a) 7 b) 16 c) −2 d) 11 e) 7 f) 5

R.4.31

a) −5 b) 1

3

c) 0 d) 9 e) 11

f) 3 g) 14 h) 9

i) 4 j) 3 2 R.4.32

a) 3 b) 1/2 c) −2 d) 3,63

R.4.33

a) x = 32 b) x ≈ 4,19

c) x = ln(5/2)

ln (2/3) ≈ −2,26

d) x = 16

R.4.34

a) f(g(x)) = e ^3x

^+x+1 b) g(f (x)) = 3e ^2x + e ^x + 1

c) h(g(x)) = 4 ^3x

^+x+1

d) k(f (x)) = x log ₂ e e) h(k(x)) = x ² R.4.35

a) dy

dx = 3 ^x ln 3 − 3 ^−x ln 3 + 3x ² + 3 b) dy

dx = 8 ²

^+x

(2 ^x ln 2 + 2x) ln 8 c) dy

dx = x ² (3 − x) e ^x d) dy

dx = 8 ^x (1 + x ln 8) R.4.36

a) dy

dx = 3x ² ln 5(x ³ + 1) b) dy

dx = 1 − ln x x ²

c) dy

dx = x ³ ln ⁴ x(4 ln x + 5) d) dy

dx = 1

2x ln 3 p log ₃ x R.4.37

a) dy

dx = 3e ^{sin 3x} cos 3x b) dy

dx = e ^−x sin e ^−x c) dy

dx = cos x 3 sin ² x + 3 ^sinx ln 3 d) dy

dx = sec x e) dy

dx = e ^x

sec ² 2x 3x ² + 4 tan 2x f) dy

dx = e ^{tan x} sec ² x − cos 2x g) dy

dx = − 3e ^{3 sec x} sec x tan x 1 + e ^{6 sec x} h) dy

dx = 2x ln x √

1 − x ⁴ − arcsin x ² x ln ² x R.4.38

a) dy

dx = e ^x+y 2y − e ^x+y b) dy

dx = y ln y − 3y ³ 6xy ² − x c) dy

dx = 1 + y ²

cos (ln x) xe ^{arctan y}

d) dy

dx = 12x ³

3y ² sec y ³ tan y ³ + 2y e) dy

dx = −y tan (e ^y ) xye ^y sec ² (e ^y ) + 1

R.4.39 a)

b) Base de √

2, hauteur de 1

√ e . R.4.40 k = e

R.4.41 a) dy

dx = e ^{√ x} 2 √

x +

√ e ^x

2 b) dy

dx = e

2

x−5

x ² − 10x (x − 5) ² c) dy

dx = 2 ³

x

3 ⁵

5 ^x ln 2 ln 3 ln 5 d) dy

dx = 2 log x x e) dy

dx = 4 − 16 ln x x ⁵

f) dy

dx = 5 x + ln ² x ⁴

(x + 2 ln x) x

R.4.42

a) Laiss´ e ` a l’´ etudiant.

b) Concave vers le haut sur [−1, 1],

concave vers le bas sur ] − ∞, − 1] et [1, ∞[, points d’inflexion en x = −1 et x = 1.

R.4.43

a) max=1, atteint en x ∈ (

0, π 2 , π, 3π

2 , 2π )

, min=0, atteint en x ∈

( π 4 , 3π

4 , 5π 4 , 7π

4 )

b) max=13 (atteint en x = arctan(5/12)), min=-13 (atteint en x = arctan(5/12) + π) R.4.44

a) 500 personnes

b) Environ 2085 personnes c) 1,96 semaines

d) lim

t→∞ N (t) = 2500 personnes e) N ⁰ (2) = 467,24 personnes/semaine f) lim

t→∞ N ⁰ (t) = 0 personnes (il faut mettre en ´ evidence les termes les plus dominants)

g) Il faut trouver le maximum de N ⁰ (t). Comme N ⁰⁰ (t) <

0 ∀x > 0, N ⁰ (t) est maximale lorsque t = 0.

R.4.45 y = x + ln

√ 2 2 − π

4 R.4.46 dθ

dt = dθ dx · dx

dt = 2

5 rad/s

R.4.47 e ^13/4 ≈ 25,79 ans

R.4.48 min. relatif en (0, 0)

R.4.49 x = 8 R.4.50 h = √

2 m R.4.51

a) Aucun max. relatif, min. relatifs en − 1 2 , 0

!

et en (1, 0).

b) max. relatifs en (2kπ, 2), min. relatifs en π

2 + 2kπ, − 2

! .

R.4.52 Environ 9,87 m R.4.53

a) dy dx = 1

2x ln 3 b) dy

dx = 1 4x p

ln √ x

c) dy dx = −2

s 1 3

x

ln 3 d) dy

dx = 5 (e ^x + 2 ^x ) ⁴ (e ^x + 2 ^x ln 2) e) dy

dx = e ^x (1 − x) (e ^x − x) ² f) dy

dx = 6x ² e ^x

tan e ^x

sec ² e ^x

g) dy

dx = −3 sin 3x + 6 cos ² 2x sin 2x ln 10 (cos 3x − cos ³ 2x) h) dy

dx = (2 ^x ln 2 − sin x) cos (2 ^x + cos x) i) dy

dx = 2e ^x − 12x ³

cot 3x ⁴ − 2e ^x j) dy

dx = x tan x ²

√

sec x ² − csc ² √ x 2 √

x

k) dy

dx = 2x cot √

x −

√

x ⁴ 3 csc ² √

x

l) dy

dx = x cos x ² tan sin x ² p

sec (sin x ² ) m) dy

dx = e ^x

(1 + e ^2x ) arctan e ^x n) dy

dx = 1 1 + x ² o) dy

dx = 1 − ln x x p

x ² − ln ² x R.4.54 Laiss´ e ` a l’´ etudiant.

R.4.55 a) dy

dx = ye ^x ln y − y ² sec ² x y tan x − e ^x b) dy

dx = −1 − 2x ² y ² sin x ² y ² 2x ³ y ² sin (x ² y ² )

c) dy

dx = 2y √ 1 − e ^2y 2 √

ye ^y − x √ 1 − e ^2y

R.4.56 a) k = −1

b) Oui, car f est continue et lim

x→0

f ⁰ (x) = lim

x→0

f ⁰ (x) c) Non

d) Non, car f n’est pas continue.

R.4.57 f ⁰ (x) = 10 cot 2x + 12 tan 3x − x x ² + 5 R.4.58

a) dy

dx = x ^{sin x}

cos x ln x + sin x x

b) dy

dx = (sin x) ^{arctan x}

ln (sin x)

1 + x ² + cot x arctan x

R.4.59 f ⁽ⁿ⁾ (x) = 3 · 4 ⁿ · e ^4x R.4.60

R.4.61 θ = arctan √

2 ≈ 52 ^◦

R.4.62 A 5,66 m du mur de 5 m. `