Universit´e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths
Equations Diff´erentielles 2012-2013
Travaux Dirig´es no. 3
Exemples d’´etude qualitative des solutions d’une EDL d’ordre 2
Exercice 1
Soientpetq deux fonctions continues sur un intervalle ouvertI. On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(E) y00+p(x)y0+q(x)y= 0.
1. Soitϕune solution non identiquement nulle de (E). Prouver qu’il n’existe aucunτ deI tel queϕ(τ) =ϕ0(τ) = 0.
2. Prouver que, si deux solutions ϕ et ψ de (E) s’annulent en un point τ, elles sont proportionnelles. De mˆeme, prouver que, si ϕ0(τ) = ψ0(τ) = 0, elles sont propor- tionnelles.
3. Montrer que toute solution non nulle de l’´equation (E) poss`ede un nombre fini de z´eros sur tout intervalle [a, b]⊂I.
Exercice 2
Soientpetq deux fonctions continues sur un intervalle ouvertI. On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(E) y00+p(x)y0+q(x)y= 0.
1. Soientuetv deux solutions lin´eairement ind´ependantes de l’´equation ci-dessus. On suppose que u s’annule au moins deux fois sur I. Prouver qu’il existe deux z´eros distincts deu,x1 etx2, entre lesquelsune s’annule pas. Quitte `a choisir−uau lieu deu, on supposera queu reste>0 entrex1 etx2.
2. (a) D´eterminer le signe deu0(x1) et celui deu0(x2). La fonctionvpeut-elle s’annuler en x1 ou x2 ? Ou supposerav(x1)<0, quitte `a travailler avec −v.
(b) En ´etudiant le wronskien deuetv, montrer quevs’annule une fois dans ]x1, x2[.
(c) Prouver que v s’annule une seule fois sur ]x1, x2[.
Exercice 3
Soitq : [0,+∞[→R une fonction continue et telle que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z ∞
0
|q(t)|dt
converge. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) y00−qy= 0.
1. Soit ϕ une solution, que l’on suppose born´ee, de (E). En ´etudiant R∞
0 ϕ00(t)dt, montrer queϕ0 admet une limite finie en +∞ puis que cette limite est nulle.
2. En d´eduire, `a l’aide du Wronskien, que l’´equation (E) a au moins une solution non born´ee.
