UNIVERSIT ´E PARIS 6 LM260. 2011-2012 Examen de Math´ematiques du 24 Janvier 2012
Dur´ee : 3 heures
Les documents ne sont pas autoris´es. Les exercices sont ind´ependants.
Exercice 1
Pour tout x∈R+, on consid`ere l’int´egrale g´en´eralis´ee : g(x) =
Z +∞
0
e−t 1 +txdt.
1) Monter qu’elle converge pour toutx∈R+ et que la fonctiong, ainsi d´efinie, est continue sur R+.
2) Montrer par r´ecurrence sur n, que g est de classe Cn pour tout n ∈ N et exprimer g(n)(x), x∈R+, sous la forme d’une int´egrale.
3) Pour toutn∈N, calculerR+∞
0 tne−tdtet v´erifier qu’on ag(n)(0) = (−1)n(n!)2. 4) ´Etant donn´e > 0, montrer que la fonction g n’est pas d´eveloppable en s´erie enti`ere de x sur l’intervalle [0, [.
Exercice 2
1) Montrer que las´erie de fonctions{un}n∈N?, o`u la fonctionun est d´efinie par un(x) = ln(1 +x2/n2), converge simplement surR.
Soit X >0. Montrer que la convergence est normale sur le segment [−X, X].
2) Montrer que sa somme x 7→ S(x) = P+∞
n=1ln(1 +x2/n2), est de classe C1 sur R et exprimer sa d´eriv´eeS0(x) comme la somme d’une s´erie.
3) On note Qn
k=1ak le produit de n nombres r´eels donn´es a1, . . . , an. D´eduire de la question 1) que la suite de fonctions (pn)n∈N? d´efinie par
x∈R, pn(x) =
n
Y
k=1
1 + x2
k2
,
converge simplement sur R. (On pourra remarquer que pn(x) = elnpn(x).) Exprimer sa limite pen fonction de la fonction S.
4) Montrer que la fonction p est d´erivable sur R et qu’on a : x∈R, p0(x)
p(x) = 2
+∞
X
n=1
x x2+n2.
1
2
Exercice 3
Soit a ∈R?. On notefa la fonction sur R, p´eriodique de p´eriode 2π, telle que
−π ≤x < π, fa(x) = coshax, et cn(a) = 2π1 R2π
0 fa(t) e−intdt, n ∈Z, ses coefficients de Fourier.
1) ´Etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e `a gauche et `a droite de la fonction fa
en tout point de R, en particulier aux points de la forme π+ 2kπ avec k ∈Z. 2) Rappeler l’´enonc´e du th´eor`eme de Dirichlet. En d´eduire qu’on a :
∀x∈R, fa(x) =c0(a) +
+∞
X
n=1
cn(a)einx+c−n(a)e−inx .
3) Calculer les int´egrales Rπ
−πeate−intdten fonction de a∈R? et de n∈Z. En d´eduire que les coefficients de Fourier cn(a) de fa sont donn´es par
n∈Z, cn(a) = (−1)n π
asinhaπ a2+n2 .
4) En ´ecrivant le d´eveloppement de fa(x) pour un x=π, en d´eduire l’identit´e suivante :
a∈R∗, πcoshπa sinhπa = 1
a + 2
+∞
X
n=1
a a2+n2.
5)(Question hors barˆeme.) A partir de l’Exercice 3 et de la formule pr´ec´edente,` d´emontrer l’identit´e suivante :
∀x∈R∗, sinhπx
πx = lim
n→+∞ n
Y
k=1
1 + x2
k2
.
