On en d ´eduit donc que(x, y)7→sin(xy) est diff ´erentiable

(1)

Aix–Marseille Universit ´e -

Math ´ematiques – L3

Calcul diff ´erentiel et optimisation DEVOIR MAISON

Correction du Devoir

LA CLARTE ET LA QUALIT´ E DE LA R´ EDACTION SERONT PRISES EN COMPTE DANS´

L’ ´EVALUATION.

Exercice 1 On consid `ere les fonctionsf: R² −→R³etg: R³ −→Rd ´efinies par

f(x, y) = (sin(xy), y, xexp(xy)), g(u, v, w) = uv²w.

1) Justifiez soigneusement que f, g et g ◦f sont d ´erivables sur leur en- semble de d ´epart.

On v érifie tout d’abord que f est bien d éfinie sur tout R². Pour montrer que la fonctionf est diff érentiable, il suffit de v érifier que c’est le cas de chacune de ses composantes.

La premi ère composante est la compos ée de la fonction sinus qui est connue comme étant diff érentiable et de la fonction bilin éaire(x, y)7→xy qui est donc aussi diff érentiable. On en d éduit donc que(x, y)7→sin(xy) est diff érentiable.

La seconde composante est lin ´eaire, donc diff ´erentiable aussi.

La troisi ème composante s’obtient en composant l’exponentielle, diff érentiable, avec l’application bilin éaire(x, y) 7→ xy, difff érentiable aussi et en multi- pliant le tout par l’application lin éaire(x, y)7→ x. Donc la troisi ème composante est aussi diff érentiable.

Du coup, les trois composantes sont diff ´erentiables, doncf est diff ´erentiable.

La fonctiong est polynomiale, donc bien d ´efinie et diff ´erentiable sur tout R³.

Enfin, la fonction(g◦f)est bien d éifinie carf(R²)⊂R³, et diff érentiable comme compos ée de deux fonctions diff érentiables.

2) Calculez explicitementg◦f.

(2)

On a, par d ´efinition de la composition,

(g◦f)(x, y) =g[f(x, y)] =g(sin(xy), y, xexp(xy)) =xy²sin(xy)e^xy.

3) En utilisant l’expression trouv ée en 2), calculez les d ériv ées partielles de g◦f.

L’applicationg◦f étant diff érentiable, on peut calculer ses d ériv ées partielles en utilisant les formules de d érivation. On obtient

∂

∂x(g◦f)(x, y) = y²sin(xy)e^xy+xy³cos(xy)e^xy+xy³sin(xy)e^xy

= y²e^xy(sin(xy) +xycos(xy) +xysin(xy))

et

∂

∂y(g◦f)(x, y) = 2xysin(xy)e^xy +x²y²cos(xy)e^xy +x²y²sin(xy)e^xy

= xye^xy(2 sin(xy) +xycos(xy) +xysin(xy))

4) D ´eterminez les matrices jacobiennesJ_f(x, y)et J_g(u, v, w)def et de g.

Les matrices jacobiennes sont les matrices des diff ´erentielles dans les bases canoniques : on obtient

J_f(x, y) =







ycos(xy) xcos(xy)

0 1

(1 +xy)e^xy x²e^xy







et J_g(u, v, w) =

v²w 2uvw uv²

5) Retrouvez le r ´esultat du 3) en utilisant un produit appropri ´e de matrices jacobiennes.

On doit avoirJg◦f(x, y) = J_g(f(x, y))×J_f(x, y). Or

J_g(f(x, y)) =

xy²e^xy 2xysin(xy)e^xy y²sin(xy)

et, d’apr `es la question 3)

Jg◦f(x, y) =

y²e^xy(sin(xy) +xycos(xy) +xysin(xy)) xye^xy(2 sin(xy) +xycos(xy) +xysin(xy))

Or, on trouve

J_g(f(x, y))J_f(x, y) = (xy²e^xyycos(xy) +y²sin(xy)(1 +xy)e^xy xy²e^xyxcos(xy)

+2xysin(xy)e^xy + y²sin(xy)x²e^xy)

= Jg◦f(x, y).

(3)

Exercice 2 Soitf :R² →Rd ´efinie par

f(x, y) =







|xy|^3/2

x²+y², (x, y)6= (0,0), 0, (x, y) = (0,0).

1) Montrez quef est diff ´erentiable en tout point deR²\{(0,0)}.

Tout d’abord, l’application(x, y)7→x²+y² est polynomiale et ne s’annule qu’en(0,0), donc (x, y)7→1/(x²+y²)est bien diff ´erentiable sur R²\ {(0,0}.

L’application (x, y) 7→ |xy|^3/2 est la compos ée de l’application bilin éaire (x, y) 7→ xy qui est diff érentiable et de l’application d’une variable r éelle t 7→ |t|^3/2. Rappelons que si α est un r éel non entier (et non nul), alors la fonction t 7→ t^α n’est d éfinie que sur [0,∞[, et diff érentiable sur]0,+∞[.

Reprenons l’ étude la d érivabilit é deu : t 7→ |t|^3/2. La valeur absolue est d érivable sur R\ {0}, donc u est d érivable sur R\ {0}. Reste à

étudier la d érivabilit é en0:

limt→0

u(t)−u(0)

t = lim

t→0

|t|^3/2

t = lim

t→0|t|^1/2|t|

t = 0.

Donc u d érivable sur tout R et f est le produit de deux fonctions diff érentiables surR²\ {(0,0)}, donc diff érentiable.

2) Montrez que les d ´eriv ´ees directionnelles f_v⁰(0,0) existent pour tout v ∈R².

Siv ∈R², on s’int ´eresse au taux d’accroissement

T_tf = f(tv)−f(0)

t .

Si v = 0, alors T_tf = 0 pour tout t, donc f₀⁰(0,0) = 0. C’est un fait g ´en ´eral. Ecrivons maintenantv = (a, b), avec(a, b)6= (0,0). On a

Ttf = 1 t

|tatb|^3/2

(ta)² + (tb)² = (t²)^3/2 t³

|ab|^3/2 a²+b² . Or,(t²)^1/2 =|t|donc

T_tf = |t|

t

|ab|^3/2 a²+b².

Notons quet(6= 0) 7→ |t|/t n’a pas de limite en0puisque cette fonction change de signe avec t. Du coup, la limite de T_tf quand t tend vers0n’existe que si l’autre facteur est nul, soit siaoubest nul : on a

(4)

donc l’existence des d ériv ées partielles qui valent toutes deux0. Les autres d ériv ées directionnelles ne sont pas d éfinies.

Si jamais on s’int éresse aux d ériv ées directionnellesau sens de Dini, c’est- à-dire à la limite suivante, quand elle existe,

f_v^Dini(0,0) = lim

t→0⁺T_tf alors on trouve

f_v^Dini(0,0) = |ab|^3/2

a²+b² =f(v). 3) f est-elle continue en(0,0)?

En partant de(|x| − |y|)² ≥0, on obtient|xy| ≤2|xy| ≤x²+y² donc

|f(x, y)|= |xy|^3/2

x²+y² ≤ (x²+y²)^3/2

x²+y² ≤(x²+y²)^1/2 donc lim

(x,y)→0f(x, y) = 0 =f(0,0)etf est continue en 0.

Une autre m éthode consiste à passer en polaire. Dans ce cas, il ne faut pas oublier de montrer que les facteurs trigonom étriques sont born és : si on écritx=rcost ety=rsint, alors

|f(x, y)|= r³|costsint|^3/2 r² ≤r . 4) f est-elle diff ´erentiable en(0,0)?

Sif était diff érentiable, alors toutes les d ériv ées directionnelles exis- teraient, ce qui n’est pas le cas. Si on a calcul é les d ériv ées directionnelles au sens de Dini, alors l’application v 7→ f_v^Dini(0,0) de- vrait être lin éaire, ce qui n’est pas le cas (pour v = (1,1), on a f_−v^Dini(0,0)6=−f_v^Dini(0,0)).

Dans les deux cas, on conclut quef n’est pas diff ´erentiable en0.

Exercice 3 Soitr >0, on noteB¯ ={x∈R^d:kxk ≤r},B ={x∈R^d :kxk< r}

etS ={x∈R^d:kxk=r}les boules et la sph `ere de rayonrdeR^d.k.kd ´esigne la norme euclidienne deR^det la norme induite surL(R^d,R)

f : ¯B →Rcontinue surB¯et diff ´erentiable surB. On suppose qu’il existe >0 tel qu’on ait

∀x∈S,|f(x)| ≤. (0.1)

On veut en d ´eduire qu’il existex0 ∈B tel qu’on ait

kD_x₀fk ≤

r. (0.2)

(5)

1. Si = 0etd= 1, quel r ésultat bien connu retrouve-t-on ? V érifiez que sa d émonstration s’ étend à d > 1(toujours pour = 0). Aurait-on pu d éduire ce r ésultat du cas >0?

On retrouve le th ´eor `eme de Rolle.

V érifions que sa d émonstration s’ étend àd >1. Soitf continue surB¯ et diff érentiable surB, telle quef_|S = 0.

CommeB¯ est compacte (car ferm ´ee et born ´ee), f atteint ses bornes.

Soientx₁ etx₂ des points o `u elle atteint respectivement son minimum et son maximum.

Si l’un des points x₁ ou x₂ appartient `a B, alors Df s’annule en ce point. Sinon,x₁ etx₂ sont dansS, et alors

minf =f(x₁) = 0 =f(x₂) = maxf,

doncf est constante et sa diff ´erentielle est nulle en tout point de B.

2. Montrez que le r ´esultat est optimal, au sens o `u on ne peut pas donner de meilleure majoration de kD_x₀fk que /r. (On pourra chercher un exemple en dimension 1.)

On prend f : ¯B = [−r;r] → R d éfinie par f(x) = _rx et on remarque quef est bien continue surB¯ et diff érentiable surB comme restriction d’une application lin éaire. On v érifie ensuite que |f(x)| = pour x ∈ S = {−r, r} et que pour tout x ∈ B, D_xf : h 7→ _rh a pour norme _r, donc la majoration (0.2) ne peut pas être am élior ée.

On introduit la fonctiong : ¯B →Rd ´efinie par

g(x) = kxk²

r² −f(x)²

² (0.3)

3. Montrez queg est diff ´erentiable surB.

La fonction x 7→ kxk² est diff érentiable sur B (Attention, c’est faux pourx 7→ kxket il s’agit ici de la norme euclidienne) comme fonction polynomiale,f² l’est surB comme produit de fonctions diff érentiables, doncg l’est comme combinaison lin éaire de fonctions diff érentiables.

4. Montrez quegest born ´ee et atteint ses bornes. On posem= min_x∈B¯g(x).

La fonction g est continue comme combinaison lin éaire et produit de fonctions continues etB¯ est compacte comme ferm ée born ée, doncf est born ée et atteint ses bornes.

(6)

5. V ´erifiez quem≤0.

Par d ´efinition dem, on am≤g(0) =−^f²⁽⁰⁾2 ≤0.

6. Dans cette question, on suppose quem = 0. En d éduire quef(0) = 0 et une majoration sur|f(x)|d’o ù on d éduira que x0 = 0v érifie (0.2).

Par d ´efinitions de m etg, on a pour tout x ∈ B,¯ 0 = m ≤ ^kxk_r2² − ^f(x)2², d’o `u|f(x)| ≤ _rkxk. En particulier, pour x= 0, on trouvef(0) = 0.

Pour touth∈R^d, on a

kD₀f(h)k=

lim

t→0⁺

1

t (f(0 +th)−f(0))

= lim

t→0⁺

1 tf(th)

≤ rkhk,

d’o `ukD₀fk ≤ _r.

7. Dans cette question, on suppose que m < 0. Montrez que tout point x0 tel queg(x0) =m est dansB et v ´erifie(0.2).

Six /∈B, alorsx∈S donckxk=ret|f(x)| ≤, d’o `u

g(x) = 1− f²(x)

² ≥0> m, ce qui prouvex₀ ∈B.

Commeg est diff érentiable en x₀, on en d éduit D_x₀g = 0, c’est- à-dire que pour touth∈R^don a

D_x₀g(h) = 2< x₀, h >

r² − 2f(x₀)D_x₀f(h)

² = 0

d’o ù, avec l’in égalit é de Cauchy-Schwarz, on d éduit

|f(x₀)||D_x₀f(h)|=

< x₀, h > ² r²

≤ ²

r²kx₀kkhk. (0.4) Commeg(x₀) = m <0, on a|f(x₀)|>kx₀k_r >0, et _|f(x^kx⁰^k

0)| < ^r donc on peut diviser (0.4) par|f(x₀)|et on trouve

|D_x₀f(h)| ≤ ² r²

kx0k

|f(x₀)|khk ≤ rkhk, ce qui prouve (0.2).