Q2 Justifiez l’existence de la fonction g: x∈ J 7→f³1 + tan(x) 2

Sup PCSI2 — Devoir 2001/02 Q1 Justifiez l’existence et la continuit´e de la fonctionϕ: t∈R7→ 1

2t²−2t+ 1.

◮Dans la suite,f d´esigne une primitive surRdeϕ. NotonsJ l’intervalle i

−π 2,π

2 h.

Q2 Justifiez l’existence de la fonction g: x∈ J 7→f³1 + tan(x) 2

´. Q3 Prouvez queg est d´erivable surJ.

Q4 Montrez l’existence de deux r´eelsaetb tels queg(x) =ax+bpour toutx∈ J. Indication: calculezg^′(x).

Q5 Calculez K= Z ¹

0

ϕ(t)dt.

◮Notonsh: t∈[0,1]7→t(1−t).

Q6 ´Etudiez tr`es rapidement les variations deh.

Q7 Exhibez un r´eelm <1 tel que 06h(t)6mpour toutt∈[0,1].

◮Pourpetqnaturels non nuls, notons I(p, q) = Z ¹

0

t^p(1−t)^qdt.

Q8 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eral I(n, n).

Q9 Pourpetqnaturels non nuls, prouvez l’´egalit´eI(p+ 1, q+ 1) = q+ 1

p+ 2I(p+ 2, q).

Q10 En d´eduire une expression de I(n, n) faisant intervenir des factorielles et/ou des puissances, mais pas de symboleQ

.

Q11 Soientn∈N^∗ et t∈R. Simplifiez la quantit´e S(n, t) = 1

2t²−2t+ 1−1− X

16k6n

2^kt^k(1−t)^k

Q12 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eralWn= X

16k6n

2^k(k!)² (2k+ 1)!.

[Devoir 2001/02] Compos´e le 11 juin 2008