1. a. Exprimer tan x en fonction de tan

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MPSI B Année 2019-2020. DS 2 le 18/10/19 19 octobre 2019

Partie I. Fonctions usuelles.

Exercice 1

1. a. Exprimer tan x en fonction de tan

^x₂

après avoir précisé l'ensemble des x pour lesquels c'est possible.

b. Former une équation du second degré dont tan

^π₈

est solution. Faire de même avec tan

^3π₈

.

c. Exprimer tan

^π₈

et tan

^3π₈

avec des racines carrées. Préciser les arctan des quatre solutions des équations de la question b..

2. a. Soit t réel non congru à

^π₈

modulo

^π₄

ni à

^π₂

modulo π .

Exprimer cos 4t et sin 4t avec des puissances de cos t et de tan t . En déduire tan 4t en fonction de tan t .

b. Pour quelles valeurs de t a-t-on cos 4t = 0 ? En déduire les solutions de 1 − 6x

²

+ x

⁴

= 0.

c. Préciser les divers intervalles dans lesquels

arctan 4x − 4x

³

1 − 6x

²

+ x

⁴

est dénie. Dans chacun, l'exprimer en fonction de arctan x .

Exercice 2

On dénit par récurrence deux suites de fonctions (P

n

)

n∈N^∗

et (Q

n

)

n∈N^∗

en posant

∀t ∈ R , P

0

(t) = 1, P

1

(t) = t, Q

0

(t) = 0, Q

1

(t) = 1.

∀n ∈ N , ∀t ∈ R ,

( P

n+2

(t) = 2tP

n+1

(t) − P

n

(t) Q

n+2

(t) = 2tQ

n+1

(t) − Q

n

(t) . 1. Calculer P

₂

(t), P

₃

(t), P

₄

(t), Q

₂

(t), Q

₃

(t), Q

₄

(t) .

2. En raisonnant par récurrence (préciser soigneusement la proposition), montrer que

∀n ∈ N , ∀x ∈ R , P

n

(cos x) = cos nx, sin x Q

n

(cos x) = sin nx.

3. Montrer que pour tout t ∈ ]−1, 1[ , P

_n⁰

(t) = nQ

n

(t) .

Partie II. Théorème de Cantor Bernstein

Soit E et F deux ensembles, f une fonction injective de E dans F et g une fonction injective de F dans E .

Dans ce texte, pour toute partie A de E , on désigne par E \ A le complémentaire de A dans E . De même, pour toute partie X de F , on désigne par F \ X le complémentaire de X dans F .

On dénit une partie H de P (E) par :

∀A ∈ P(E), A ∈ H ⇔ g(F \ f (A)) ⊂ E \ A.

1. Question de cours (image directe, image réciproque).

Soit A ⊂ E , X ⊂ F , b ∈ E , y ∈ F .

Caractériser la propriété y ∈ f (A) à l'aide d'un quanticateur. Caractériser la propriété b ∈ g(X ) à l'aide d'un quanticateur. Caractériser b ∈ f

⁻¹

(X) . Caractériser x ∈ g

⁻¹

(A) .

2. Dans cette question, on suppose qu'il existe B ⊂ E telle que E \ B = g(F \ f (B)).

On dénit des fonctions f

₁

et g

₁

:

f

₁

:

( B → f (B)

b 7→ f (b) g

₁

:

( F \ f (B) → E \ B x 7→ g(x) . a. Montrer que, f

1

et g

1

sont bijectives.

b. On dénit des fonctions ϕ et ψ par :

ϕ :



 

  E → F

a 7→

( f

₁

(a) si a ∈ B g

₁⁻¹

(a) si a / ∈ B

, ψ :



 

  F → E

x 7→

( f

₁⁻¹

(x) si x ∈ f (B) g

₁

(x) si x / ∈ f (B) Montrer qu'elles sont bijectives.

3. a. Soit A ∈ P(E) , compléter la proposition suivante

A ∈ H ⇔ (∀x ∈ F, x / ∈ ? ⇒ g(x) ? ?) . Puis démontrer cette équivalence

¹

.

1Toute rédaction prétendant ne pas justier séparément les deux implications sera considérée incorrecte sans être lue !

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S1902E

(2)

MPSI B Année 2019-2020. DS 2 le 18/10/19 19 octobre 2019

b. Montrer que, pour tout A ∈ P(E) ,

A ∈ H ⇔ g

⁻¹

(A) ⊂ f (A).

4. a. Montrer que ∅ ∈ H . Montrer que E \ g(F ) ∈ H . b. On note

B = [

A∈H

A. Montrer

g

⁻¹

(B) = [

A∈H

g

⁻¹

(A), f (B) = [

A∈H

f (A).

En déduire que B ∈ H .

5. a. Pour tout a ∈ E , montrer que a / ∈ B ⇒ B ∪ {a} ∈ H / . b. Montrer que E \ B = g(F \ f (B)) .

6. Démontrer le théorème de Cantor-Bernstein

Deux ensembles étant donnés, s'il existe des applications injectives entre chacun des deux alors il existe des applications bijectives entre chacun des deux.

Partie III. Intégrales et courbes paramétrées.

Ce problème porte sur une fonction à valeurs complexes z dénie par

∀t ∈ [0, +∞[, t 7→ z(t) = Z

t

0

e

^iθ(u)

du où θ est une fonction de classe C

¹

dans [0, +∞[ .

Partie I.

Dans cette partie : θ = arctan . On dénit aussi les fonctions x et y par :

∀t ≥ 0 : x(t) = Re(z(t)), y(t) = Im(z(t)).

1. Bijections réciproques en trigonométrie hyperbolique.

a. Montrer que la fonction

( R → R x 7→ ln(x + p

1 + x

²

)

est la bijection réciproque de sh . On la note argsh . Préciser sa dérivée.

b. Montrer que les fonctions ( [1, +∞[ → [0, +∞[

x 7→ ln(x + p x

²

− 1)

( [0, +∞[ → [1, +∞[

t 7→ ch t

sont des bijections réciproques l'une de l'autre. On note argch celle de gauche.

Préciser sa dérivée.

2. Soit u > 0 , préciser un argument de 1 + iu . En déduire la forme algébrique de e

^iθ(u)

. 3. Pour t > 0 , calculer x(t) et y(t) .

4. Pour t > 0 , exprimer t en fonction de x(t) puis y(t) en fonction de x(t) . Que peut-on en déduire pour la trajectoire de z (c'est à dire l'ensemble des points dont l'axe est un z(t) ) ? Dessiner cette trajectoire.

Partie II.

Dans cette partie, on suppose que θ est de classe C

²

et que θ

⁰

est strictement croissante avec θ

⁰

(0) > 0 . On note λ = θ

⁰

(0) et on veut montrer que

∀t > 0, |z(t)| ≤ 4 λ .

On pourra utiliser le résultat suivant : si f est une fonction à valeurs complexes continue dans un segment [a, b] ,

Z

b a

f (t) dt

≤ Z

b

a

|f (t)| dt.

1. Montrer que

z(t) = Z

t

0

θ

⁰⁰

(u)

iθ

⁰

(u)

²

e

^iθ(u)

du + e

^iθ(t)

iθ

⁰

(t) − e

^iθ(0)

iθ

⁰

(0) . 2. Montrer que :

e

^iθ(t)

iθ

⁰

(t) − e

^iθ(0)

iθ

⁰

(0)

≤ 2 λ .

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(3)

MPSI B Année 2019-2020. DS 2 le 18/10/19 19 octobre 2019

3. Montrer que :

Z

t 0

θ

⁰⁰

(u)

iθ

⁰

(u)

²

e

^iθ(u)

du

. ≤ Z

t

0

θ

⁰⁰

(u) θ

⁰

(u)

²

du 4. En déduire l'inégalité annoncée.

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