MPSI B Année 2017-2018. DM 4 pour le 20/10/17 29 juin 2019
Exercice
Soit m un réel donné. L'objet de ce problème est de discuter suivant la valeur du para- mètre m du nombre de solutions dans [0, π] de l'équation E
md'inconnue x
E
m: cos(2x) + 2(1 − m) cos x + 1 + 4m = 0 On introduit pour cela une fonction auxiliaire
ϕ :
R \ {2} → R t 7→ t
2+ t
t − 2
1. Calculer et factoriser ϕ
0. Former le tableau de variations de ϕ et tracer son graphe.
2. Déterminer un intervalle I tel que
E
madmet une solution dans R ⇔ m ∈ ϕ(I) 3. Discuter suivant m du nombre de solutions de E
mdans [0, π] .
Problème
Soit E et F deux ensembles, f une fonction injective de E dans F et g une fonction injective de F dans E .
Dans ce texte, pour toute partie A de E , on désigne par E \ A le complémentaire de A dans E . De même, pour toute partie X de F , on désigne par F \ X le complémentaire de X dans F .
On dénit une partie H de P (E) par :
∀A ∈ P(E), A ∈ H ⇔ g(F \ f (A)) ⊂ E \ A 1. Question de cours.
Soit A ⊂ E , X ⊂ F , b ∈ E , y ∈ F .
Caractériser la propriété y ∈ f (A) à l'aide d'un quanticateur. Caractériser la propriété b ∈ g(X ) à l'aide d'un quanticateur. Caractériser b ∈ f
−1(X) . Caractériser x ∈ g
−1(A) .
2. Dans cette question, on suppose qu'il existe B ⊂ E telle que E \ B = g(F \ f (B))
On dénit des fonctions f
1et g
1:
f
1:
( B → f(B)
b 7→ f(b) g
1:
( F \ f (B) → E \ B x 7→ g(x) a. Montrer que, f
1et g
1sont bijectives.
b. On dénit des fonctions ϕ et ψ par :
ϕ :
E → F
a 7→
( f
1(a) si a ∈ B g
1−1(a) si a / ∈ B
, ψ :
F → E
x 7→
( f
1−1(x) si x ∈ f (B) g
1(x) si x / ∈ f (B) Montrer qu'elles sont bijectives.
3. a. Soit A ∈ P(E) , compléter la proposition suivante
A ∈ H ⇔ (∀x ∈ F, x / ∈ ? ⇒ g(x) ? ?) Puis démontrer cette équivalence
1.
b. Montrer que, pour tout A ∈ P(E) ,
A ∈ H ⇔ g
−1(A) ⊂ f (A) 4. a. Montrer que ∅ ∈ H . Montrer que E \ g(F) ∈ H .
b. On note
B = [
A∈H
A Montrer
g
−1(B) = [
A∈H
g
−1(A), f (B) = [
A∈H
f (A) En déduire que B ∈ H .
5. a. Pour tout a ∈ E , montrer que
a / ∈ B ⇒ B ∪ {a} ∈ H /
1
Toute rédaction prétendant ne pas justier séparément les deux implications sera considérée incorrecte sans être lue !
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1704EMPSI B Année 2017-2018. DM 4 pour le 20/10/17 29 juin 2019
b. Montrer que
E \ B = g(F \ f (B)) 6. Démontrer le théorème de Cantor-Bernstein
Deux ensembles étant donnés, s'il existe des applications injectives entre chacun des deux alors il existe des applications bijectives entre chacun des deux.
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