MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 9 pour le 12/01/18 29 juin 2019
Problème 1
Ce problème illustre la complexité du comportement des suites dénies par récurrence dans le cas où la fonction n'est pas monotone. Il introduit à un résultat connu comme
Période 3 implique chaos.
−1
1
(1, −1)
m b
a
a
′Fig. 1: Graphe de f
Partie I. La fonction.
1. Déterminer les réels a , b , c tels que la fonction polynomiale f dénie par
∀ x ∈ R , f (x) = ax
2+ bx + c
vérie f ( − 1) = 0 , f (0) = 1 , f(1) = − 1 .
2. Justier avec un tableau de variations que le graphe présenté en gure 1 est celui de f . Préciser les valeurs de a , m , a
0, b . On ne demande pas de vérier les inégalités suivantes visibles sur le graphe mais on pourra les utiliser dans la suite.
f (x) − x
( < 0 si x / ∈ [a, a
0]
> 0 si x ∈ ]a, a
0[ , a < f (b) < − 1 < m < 0 < a
0< 1 < b 3. Avec des éléments de la chaîne d'inégalités du dessus, exprimer
f (] −∞ , a]), f ([a, m]), f ([m, b]).
En déduire f ([a, b]) ⊂ [a, b] . 4. On dénit une suite (x
n)
n∈Npar :
x
0∈ R , ∀ n ∈ N , x
n+1= f (x
n) Étudier cette suite dans les cas suivants
x
0< a, x
0= a, x
0= − 1, x
0= 0, x
0= a
0, x
0= 1.
Partie II. Les outils.
1. Pour u < v réels, soit J = [u, v] et g ∈ C (J, R ) telle que J ⊂ g(J) . Montrer que g admet un point xe dans J c'est à dire qu'il existe x ∈ J tel que g(x) = x (on pourra considérer z et t dans J tels que g(z) = u et g(t) = v ).
2. Soit I un segment de R, f ∈ C (I, R ) et K = [v, V ] ⊂ f (I) avec v < V . On veut montrer qu'il existe α et β dans I tels que K = f ([α, β]) .
Comme [v, V ] ⊂ f (I) , il existe a et b dans I tels que v = f (a) et V = f (b) . On suppose a < b dans les questions a., b., c..
a. Soit A = { x ∈ [a, b] tq f (x) = v }. Montrer que A admet un plus grand élément (noté α ). Montrer que α < b et que
α < x ≤ b ⇒ v < f (x)
b. Soit B = { x ∈ [α, b] tq f (x) = V }. Montrer que B admet un plus petit élément (noté β ). Montrer que α < β et que
α ≤ x < β ⇒ f (x) < V c. Montrer que [v, V ] = f ([α, β]) .
d. Comment faire dans le cas b < a ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1709EMPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 9 pour le 12/01/18 29 juin 2019
Partie III. Existence de suites périodiques.
On se replace dans le contexte de la première partie en notant I
−= [ − 1, 0] et I
+= [0, 1] . On veut montrer qu'il existe un c ∈ I
+tel que
f ◦ f ◦ f ◦ f (c) = c avec f (c) 6 = c, f ◦ f (c) 6 = c, f ◦ f ◦ f (c) 6 = c On pourra noter f
i= f ◦ f ◦ · · · ◦ f
| {z }
ifois
.
1. Préciser f (I
−) et f (I
+) avec a , f (b) , m , a
0et b . En déduire I
+⊂ f (I
−), I
−⊂ f (I
+), I
+⊂ f (I
+) 2. a. Montrer qu'il existe des segments K
1, K
2, K
3, K
4tels que
(K
1⊂ I
+et f (K
1) = I
+) , (K
2⊂ K
1⊂ I
+et f (K
2) = K
1) ,
(K
3⊂ I
−et f (K
3) = K
2) , (K
4⊂ I
+et f (K
4) = K
3) b. Reproduire sur votre copie la gure 1 et présenter les segments K
1, K
2, K
3, K
4estimés graphiquement.
3. Montrer qu'il existe c ∈ K
4tel que f
4(c) = c .
4. Pour le c déni dans la question précédente, montrer que
(c = f (c) ⇒ c = 0) , (c = f ◦ f (c) ⇒ f (c) = 0) , c = f
3(c) ⇒ c = 0 Conclure.
5. Montrer qu'il existe c
2∈ I
+tel que f (c
2) 6 = c
2et f ◦ f (c
2) = c
2.
6. Montrer que, pour tout entier n ≥ 3 , il existe c
n∈ I
+tel que la suite dénie par récurrence avec la condition initiale c
nsoit périodique de plus petite période n .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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