MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 19 29 juin 2019

MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 19 29 juin 2019

Exercice.

Soient a

₁

, · · · , a

_n

, b

₁

, · · · , b

_n

des réels tels que

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2

, i 6= j ⇒ a

i

6= a

j

et b

i

6= b

j

Soit C(a

₁

, b

₁

, a

₂

, b

₂

, · · · , a

_n

, b

_n

) la matrice n×n (dite de Cauchy) dont le coecient d'indice i, j est

_ai+b¹ _j

et c(a

₁

, b

₁

, a

₂

, b

₂

, · · · , a

_n

, b

_n

) son déterminant.

L'objet de cet exercice est d'obtenir, par deux méthodes diérentes une expression factorisée de ce déterminant.

1. Calculer 60

³

c(1, 1, 2, 2, 3, 3) . 2. Opérations élémentaires.

a. Préciser l'opération élémentaire et les factorisations montrant que c(a

₁

, b

₁

, a

₂

, b

₂

) = a

1

− a

2

(a

₁

+ b

₁

)(a

₁

+ b

₂

)

1 1

1 a2+b1

1 a2+b2

En déduire l'expression factorisée de c(a

₁

, b

₁

, a

₂

, b

₂

) .

b. On note L

_i

la ligne i de C(a

₁

, b

₁

, a

₂

, b

₂

, · · · , a

_n

, b

_n

) . Pour i ∈ J 2, n K et j ∈ J 1, n K, préciser le coecient dans la colonne j de L

_i

− L

₁

.

c. Montrer que

c(a

1

, b

1

, · · · , a

n

, b

n

) = Q

n

i=2

(a

1

− a

i

) Q

n

j=1

(a

₁

+ b

_j

)

1 1 · · · 1

1 a₂+b₁

1

a₂+b₂

· · ·

_a ¹

2+b_n

... ... ...

1 a_n+b₁

1

a_n+b₂

· · ·

_a ¹

n+b_n

d. Montrer que

c(a

1

, b

1

, · · · , a

n

, b

n

) = Q

n

i=2

(a

₁

− a

_i

) Q

n

j=2

(b

₁

− b

_j

) Q

n

j=1

(a

₁

+ b

_j

) Q

n

i=2

(a

_i

+ b

₁

) c(a

2

, b

2

, · · · , a

n

, b

n

) 3. Méthode algébrique.

On considére l'application F dénie dans une partie de R par : x 7→ F(x) = c(x, b

1

, · · · , a

n

, b

n

)

a. Montrer que F est une fraction rationnelle. Préciser son degré et ses pôles.

b. Montrer qu'il existe un réel λ et des polynômes unitaires A et B tels que F = λ

_B^A

. Préciser la forme factorisée de A et B . Montrer que

λ =

1 1 · · · 1

1 a₂+b₁

1

a₂+b₂

· · ·

_a ¹

2+b_n

... ... ...

1 a_n+b₁

1

a_n+b₂

· · ·

_a ¹

n+b_n

c. Comment retrouver la formule de la question 2.d. sans opérations élémentaires ?

Problème.

Ce problème

¹

est constitué de trois parties, la troisième partie étant complètement indé- pendante des deux premières.

On note E l'espace vectoriel C

⁰

([0,

^π₂

], R ) des fonctions continues sur [0,

^π₂

] à valeurs réelles muni du produit scalaire et de la norme associée dénis par :

∀(f, g) ∈ E

²

, hf, gi = Z

^π₂

0

f (t)g(t) dt, kf k = p hf, fi

Un endomorphisme

²

U de E est dit symétrique déni positif si hU (f ), gi = hf, U(g)i pour tous f, g dans E et si de plus hU (f ), fi > 0 pour tout f ∈ E non nul.

Partie 1 : Opérateurs de Volterra

Étant donné un endomorphisme U de E et un réel λ , on rappelle que λ est une valeur propre de U s'il existe une fonction f ∈ E non nulle telle que U (f ) = λf . On dit alors que f est un vecteur propre de U associé à la valeur propre λ .

On dénit des applications V et et V

^∗

en posant pur toute fonction f ∈ E et tout :

∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, π

2 ] : V (f )(x) = Z

x

0

f (t) dt, V

^∗

(f )(x) = Z

^π₂

x

f (t) dt.

1. Montrer que V et V

^∗

sont des endomorphismes de E .

1d'après Mines 1 MP 2015.

2Dans le cas où comme ici l'espace vectoriel est constitué de fonctions, un endomorphisme est souvent appelé un opérateur.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1719E

MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 19 29 juin 2019

2. En observant que V (f ) et −V

^∗

(f ) sont des primitives de f , montrer que

∀(f, g) ∈ E

²

, hV (f ), gi = hf, V

^∗

(g)i .

3. Montrer que l'endomorphisme V

^∗

◦ V est symétrique déni positif. En déduire que les valeurs propres de V

^∗

◦ V sont strictement positives.

4. Soit λ une valeur propre de V

^∗

◦ V et soit f

_λ

un vecteur propre associé. Montrer que f

_λ

est de classe C

²

et qu'il est solution de l'équation diérentielle

y

⁰⁰

+ 1

λ y = 0 avec y( π

2 ) = 0 et y

⁰

(0) = 0.

5. Montrer qu'un réel λ est valeur propre de V

^∗

◦ V si et seulement s'il existe n ∈ N tel que λ =

_(2n+1)¹ 2

. Préciser alors les vecteurs propres associés.

Partie 2 : Equations diérentielles de type Sturm-Liouville

Soient h ∈ E, λ ∈ R. Considérons l'équation diérentielle S et les fonctions ϕ

n

: S :

( y

⁰⁰

+ λy + h = 0

y(π/2) = y

⁰

(0) = 0 , ∀n ∈ N , ϕ

n

:

( [0, π/2] → R t 7→ cos((2n + 1)t) . 1. Déterminer la fonction V (ϕ

_n

) pour tout n ∈ N.

2. Montrer que pour tout n ∈ N

^∗

et tout f ∈ E : h(V

^∗

◦ V )(f ), ϕ

_n

i = 1

(2n + 1)

²

hf, ϕ

_n

i . 3. Soit g ∈ E . Montrer que g est solution de S si et seulement si :

g = λV

^∗

◦ V (g) + (V

^∗

◦ V )(h).

4. Soit g ∈ E une solution de S . Montrer que pour tout n ∈ N :

1 − λ

(2n + 1)

²

hg, ϕ

n

i = 1

(2n + 1)

²

hh, ϕ

n

i .

5. Supposons qu'il existe p ∈ N tel que λ = (2p+1)

²

. Déterminer une condition nécessaire sur h pour que S possède une solution.

Partie 3 : Approximation par des fonctions trigonométriques

Soit G = C

⁰

([0, π], R ) des fonctions continues sur à valeurs réelles, muni du produit scalaire et de la norme associée dénis par

∀(f, g) ∈ G

²

, hf, gi

_G

= Z

π

0

f (t)g(t) dt, kf k

_G

= q

hf, f i

_G

Pour tout n ∈ N, on dénit une fonction c

n

et un sous-espace vectoriel F

n

de G :

∀n ∈ N , ∀t ∈ [0, π], c

n

(t) = cos(nt), F

n

= Vect(c

0

, ..., c

n

) On désigne par P

F_n

la projection orthogonale sur F

n

.

1. Soit p une fonction polynomiale réelle de degré inférieur ou égal à n . Montrer que la fonction t ∈ [0, π] 7→ p(cos(t)) appartient à F

_n

.

2. Posons α

₀

=

^√1_π

et α

_n

= q

2

π

pour tout n ∈ N

^∗

. Montrer que la famille (α

_n

c

_n

)

_n∈N

est orthonormale.

Dans la n du problème, on admet le théorème de Weierstrass :

Soit f ∈ C([−1, 1], R ) et ε > 0 , il existe une fonction polynomiale P telle que :

∀u ∈ [−1, 1], |f (u) − P (u)| ≤ ε 3. Montrer que pour toute fonction g ∈ G :

kg − P

F_n

(g)k

_G

−−−−−→

n→+∞

0.

4. En déduire que pour toute fonction g ∈ G , il existe une suite (a

n

) telle que :

g −

n

X

k=0

a

k

c

k

_G

−−−−−→

n→+∞

0.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai M1719E