MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 20 à préparer pour traiter en classe 29 juin 2019

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MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 20 à préparer pour traiter en classe 29 juin 2019

Exercice.

Ce texte porte sur une série convergente pour laquelle on dispose à la fois d'une ex- pression exacte simple de la somme et d'un algorithme ecace permettant de calculer le développement hexadécimal (en base 16) de cette somme (formule de S. Ploue 1997).

On considère la série ( P

x n 16 ⁻ⁿ ) _n∈N avec :

∀n ∈ N , x n = 4

8n + 1 − 2

8n + 4 − 1

8n + 5 − 1 8n + 6 . Les premières valeurs de x n sont

x ₀ = 47

15 , x ₁ = 106

819 , x ₂ = 829 19635

Partie I. Convergences.

1. Montrer que ( P

x n 16 ⁻ⁿ ) _n∈

N est une série à termes positifs convergente.

On note s sa somme, s n la somme partielle et ε n le reste à l'ordre n :

∀n ∈ N , s = s _n + ε _n , s _n =

n

X

k=0

x _k 16 ^−k .

2. Montrer que

∀n ∈ N , 0 < ε n < 16 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ .

Partie II. Développements hexadécimaux.

Soit x ∈ R et n ∈ N. On note a _n (x) l'approximation hexadécimale par défaut de x à l'ordre n :

x = a n (x) + b n (x) avec a n ∈ Z × 16 ⁻ⁿ et 0 ≤ b n (x) < 16 ⁻ⁿ 1. On suppose qu'il existe u et v dans N ^∗ tels que x = ^u _v .

a. Exprimer a n (x) et b n (x) en fonction du quotient q n et du reste r n de la division de 16 ⁿ u par v .

b. Exprimer, en fonction de q n (x) , le coecient de 16 ⁻ⁿ dans le développement de x en base 16.

c. Exprimer, en fonction de r n (x) , le coecient de 16 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ dans le développement de x en base 16.

2. Former la suite des restes des divisions de 16 ⁿ ×47 par 15 . En déduire le développement hexadécimal de x 0 .

3. Les divisions suivantes sont données :

16 × 106 = 2 × 819 + 58, 16 × 58 = 1 × 819 + 109, 16 × 829 = 13264 a. Former un tableau donnant les coecients de 16 ⁻ⁿ (avec n ∈ J 0, 4 K) des dévelop-

pements hexadécimaux de x 0 16 ⁻⁰ , x 1 16 ⁻¹ , x 2 16 ⁻² , ε 2 en plaçant un ? pour les coecients que vous ne pouvez pas calculer facilement.

b. Quel développement hexadécimal de s peut-on en déduire ?

4. Écrire à l'aide de puissances de 16 l'encadrement de s correspondant à la question précédente. En déduire une approximation décimale de s .

Partie III. Calculs formels de sommes.

Dans cette partie, c représente un réel de ]0, 1[ et l un entier naturel.

1. a. Calculer R c

0 t ^8n+l dt . Comment doit-on choisir c pour faire apparaitre les suites gurant dans 16 ⁻ⁿ x _n ?

b. Montrer la convergence de la série

X c ^8n+l+1 8n + l + 1

n∈N

.

2. Expression des sommes élémentaires.

a. Montrer que

∀c ∈ ]0, 1[, ∀t ∈ [0, c], t ⁸

1 − t ⁸ ≤ c ⁸ 1 − c ⁸ b. Montrer que

∀t ∈ [0, c], ∀n ∈ N ,

t ^l 1 − t ⁸ −

n

X

i=0

t ^8i+l

≤ c ^8n+8+l 1 − c ⁸ c. En déduire

+∞

X

i=0

c ^8i+l+1 8i + l + 1 =

Z c 0

t ^l 1 − t ⁸ dt

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1720E

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3. Montrer que

s = Z

^√¹₂

0 8t ⁵ + 4 √

2 t ⁴ + 8t ³ − 4 √ 2

t ⁸ − 1 dt

4. Quelles sont les racines complexes du polynôme X ⁸ − 1 ? En déduire sa factorisation dans R [X] . On admet

8X ⁵ + 4 √

2 X ⁴ + 8X ³ − 4 √

2 = 8(X ² + 1)(X ² + √

2 X + 1)(X − 1

√ 2 ) En déduire une nouvelle expression de s comme une intégrale simpliée entre 0 et 1 . 5. Déterminer les réels α , β , γ , δ tels que

16 X − 1

(X ² − 2X + 2)(X ² − 2) = αX + β

X ² − 2X + 2 + γX + δ 2 − X ² 6. En déduire s .

Problème.

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et E = (e 1 , · · · , e n ) une base orthonormée. Son produit scalaire est noté < / > .

Pour tout (p, q) ∈ J 1, n K

2 avec p < q et tout θ ∈

− ^π ₂ , ^π ₂ , on dénit l'endomorphisme r p,q,θ

de E par l'image de la base E :

∀i ∈ J 1, n K , r _p,q,θ (e _i ) =



 

 

e i si i 6= p et i 6= q cos θe p + sin θe q si i = p

− sin θe _p + cos θe _q si i = q

On note R _p,q (θ) la matrice de r _p,q,θ dans E et, pour tout i ∈ J 1, n K, e ⁰ _i = r _p,q,θ (e _i ) . Pour toute matrice M = (m i,j ) _(i,j)∈

J 1,n K

²

on note kM k ² = X

(i,j)∈ J 1,n K

²

m ² _i,j = tr( ^t M M )

On ne demande pas de prouver la dernière égalité.

Partie I. Questions préliminaires.

1. On se donne quatre nombres réels a ≤ b ≤ c ≤ d tels que a + d = b + c . Montrer que la fonction x 7→ |x − a| − |x − b| − |x − c| + |x − d| est à valeurs positives.

2. Montrer les trois propriétés suivantes

l'endomorphisme r p,q,θ conserve le produit scalaire, la matrice R p,q (θ) est orthogonale,

la famille E ⁰ = (e ⁰ ₁ , · · · , e ⁰ _n ) est orthonormée.

Partie II. Conjugaison par une matrice de rotation.

Soit f un endomorphisme de E dont la matrice dans la base E est symétrique. On la note S = (s i,j ) _(i,j)∈

J 1,n K

²

. On suppose s p,q 6= 0 et on pose S ⁰ = s ⁰ _i,j

(i,j)∈J 1,n K

²

= ^t R p,q (θ) S R p,q (θ).

1. Montrer que S ⁰ est symétrique et que

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2 , s ⁰ _i,j =< e ⁰ _i /f (e ⁰ _j ) > . 2. Calcul de S ⁰ .

a. Exprimer s ⁰ _p,p et s ⁰ _q,q en fonction de s _p,p , s _q,q , s _p,q . En déduire s ⁰ _p,p + s ⁰ _q,q = s _p,p + s _q,q

b. Exprimer s ⁰ _p,q en fonction de s p,p , s q,q , s p,q .

c. Pour k / ∈ {p, q} , exprimer s ⁰ _p,k et s ⁰ _q,k en fonction de s _p,k , s _q,k . 3. On cherche un θ pour lequel s ⁰ _p,q = 0 .

a. Montrer que s ⁰ _p,q = 0 si et seulement si tan θ est une solution de l'équation d'in- connue t

t ² + s p,p − s q,q

s p,q

t − 1 = 0 (1)

b. Montrer que cette équation admet une unique solution t 0 ∈] − 1, +1] . On note θ 0 = arctan t 0 . Dans la suite de cette partie, on suppose θ = θ 0 .

4. Montrer que :

s p,p − s q,q = 1 − t ² ₀

t ₀ s p,q , s ⁰ _p,p − s p,p = t 0 s p,q , s ⁰ _q,q − s q,q = −t 0 s p,q .

2

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5. On décompose S sous la forme S = D + E avec D diagonale et E à diagonale nulle.

On décompose de même S ⁰ en S ⁰ = D ⁰ + E ⁰ . a. Montrer que

kE ⁰ k ² = kEk ² − 2s ² _p,q . b. Montrer que

kS ⁰ k ² = kSk ² , kSk ² = kDk ² + kEk ² , kS ⁰ k ² = kD ⁰ k ² + kE ⁰ k ² . En déduire une expression de kD ⁰ k ² en fonction de kDk ² et s ² _p,q .

6. Montrer que les coecients de S ⁰ s'expriment uniquement en fonction de ceux de S et de t 0 = tan θ 0 .

7. On suppose dans cette question que s p,q est le coecient de E de plus grande valeur absolue parmi les s _i,j avec i 6= j .

a. Montrer que kEk ² ≤ n(n − 1)s ² _p,q . En déduire une minoration de s ² _p,q en fonction de kEk et de n .

b. Montrer que kE ⁰ k ≤ ρ kEk où ρ < 1 est une constante que l'on précisera.

c. Montrer que kD − D ⁰ k ≤ kEk .

8. a. En utilisant les questions II.2. et II.4., montrer que s ⁰ _q,q − s ⁰ _p,p = − 1 + t ² ₀

t ₀ s p,q . b. En calculant (s ⁰ _q,q − s ⁰ _p,p ) ² − (s _q,q − s _p,p ) ² , montrer que

s ⁰ _q,q − s ⁰ _p,p

≥ |s q,q − s p,p | .

9. a. Montrer que s p,p − s ⁰ _p,p et s ⁰ _q,q − s q,q sont du même signe que s q,q − s p,p . b. Soit i ∈ J 1, n K, montrer que

s i,i − s ⁰ _q,q +

s i,i − s ⁰ _p,p

− |s i,i − s p,p | − |s i,i − s q,q | ≥ 0 10. On dénit

R = X

(i,j)∈ J 1,n K

²

|s i,i − s j,j | , R ⁰ = X

(i,j)∈ J 1,n K

²

s ⁰ _i,i − s ⁰ _j,j

Montrer que

R ⁰ − R ≥ 2

s ⁰ _q,q − s _q,q +

s ⁰ _p,p − s _p,p

= 2

n

X

i=1

s ⁰ _i,i − s _i,i .

Partie III. Algorithme.

Soit A ^(m)

m∈N une suite quelconque de matrices dans M _n ( R ) . On dit que A ^(m) converge vers A ∈ M n ( R ) si la suite de réels m∈N

A ^(m) − A

m∈ N converge vers 0 . Ceci est équivalent à :

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2 , a ^(m) _i,j

m∈ N

→ a _i,j . On ne demande pas de le démontrer.

Dans l'algorithme de Jacobi, on part d'une matrice Σ symétrique et on construit une suite Σ ^(m)

m∈ N de matrices symétriques. Les coecients de Σ ^(m) sont notés σ ^(m) _i,j . On pose Σ ⁽⁰⁾ = Σ .

Lorsque Σ ^(m) est connu, on considère p _m et q _m avec p _m < q _m et tels que σ _p−m,q ^(m)

m

soit le coecient de Σ ^(m) de plus grande valeur absolue.

On applique alors les calculs de la partie II à la matrice S = Σ ^(m) et au couple (p m , q m ) . La matrice Σ ^(m+1) est alors la matrice S ⁰ étudiée en II.

1. Soit m ∈ N. On dénit

R m = X

(i,j)∈ J 1,n K

²

σ ^(m) _j,j − σ ^(m) _i,i . a. Montrer que

R _m ≤ 2(n − 1)

n

X

j=1

σ ^(m) _j,j

,





n

X

j=1

σ _j,j ^(m)





2 ≤ n

n

X

j=1

σ _j,j ^(m)

2 .

b. Montrer que

R m ≤ 2(n − 1) √ n kΣk . 2. Pour m ∈ N, on dénit

_m =

n

X

i=1

σ ^(m+1) _i,i − σ ^(m) _i,i .

Vérier que R _m+1 − R _m ≥ 2 _m . En déduire que la série ( P _m ) _m≥1 est convergente.

3. On décompose Σ ^(m) en Σ ^(m) = D ^(m) + E ^(m) avec D ^(m) diagonale et E ^(m) à diagonale nulle.

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Exercice.

Ce texte porte sur une série convergente pour laquelle on dispose à la fois d'une ex- pression exacte simple de la somme et d'un algorithme ecace permettant de calculer le développement hexadécimal (en base 16) de cette somme (formule de S. Ploue 1997).

On considère la série ( P

x n 16 −n ) n∈N avec :

∀n ∈ N , x n = 4

8n + 1 − 2

8n + 4 − 1

8n + 5 − 1 8n + 6 . Les premières valeurs de x n sont

x 0 = 47

15 , x 1 = 106

819 , x 2 = 829 19635

Partie I. Convergences.

1. Montrer que ( P

x n 16 −n ) n∈

N est une série à termes positifs convergente.

On note s sa somme, s n la somme partielle et ε n le reste à l'ordre n :

∀n ∈ N , s = s n + ε n , s n =

n

X

k=0

x k 16 −k .

2. Montrer que

∀n ∈ N , 0 < ε n < 16 −(n+1) .

Partie II. Développements hexadécimaux.

Soit x ∈ R et n ∈ N. On note a n (x) l'approximation hexadécimale par défaut de x à l'ordre n :

x = a n (x) + b n (x) avec a n ∈ Z × 16 −n et 0 ≤ b n (x) < 16 −n 1. On suppose qu'il existe u et v dans N ∗ tels que x = u v .

a. Exprimer a n (x) et b n (x) en fonction du quotient q n et du reste r n de la division de 16 n u par v .

b. Exprimer, en fonction de q n (x) , le coecient de 16 −n dans le développement de x en base 16.

c. Exprimer, en fonction de r n (x) , le coecient de 16 −(n+1) dans le développement de x en base 16.

2. Former la suite des restes des divisions de 16 n ×47 par 15 . En déduire le développement hexadécimal de x 0 .

3. Les divisions suivantes sont données :

16 × 106 = 2 × 819 + 58, 16 × 58 = 1 × 819 + 109, 16 × 829 = 13264 a. Former un tableau donnant les coecients de 16 −n (avec n ∈ J 0, 4 K) des dévelop-

pements hexadécimaux de x 0 16 −0 , x 1 16 −1 , x 2 16 −2 , ε 2 en plaçant un ? pour les coecients que vous ne pouvez pas calculer facilement.

b. Quel développement hexadécimal de s peut-on en déduire ?

4. Écrire à l'aide de puissances de 16 l'encadrement de s correspondant à la question précédente. En déduire une approximation décimale de s .

Partie III. Calculs formels de sommes.

Dans cette partie, c représente un réel de ]0, 1[ et l un entier naturel.

1. a. Calculer R c

0 t 8n+l dt . Comment doit-on choisir c pour faire apparaitre les suites gurant dans 16 −n x n ?

b. Montrer la convergence de la série

X c 8n+l+1 8n + l + 1

n∈N

.

2. Expression des sommes élémentaires.

a. Montrer que

∀c ∈ ]0, 1[, ∀t ∈ [0, c], t 8

1 − t 8 ≤ c 8 1 − c 8 b. Montrer que

∀t ∈ [0, c], ∀n ∈ N ,

t l 1 − t 8 −

n

X

i=0

t 8i+l

≤ c 8n+8+l 1 − c 8 c. En déduire

+∞

X

i=0

c 8i+l+1 8i + l + 1 =

Z c 0

t l 1 − t 8 dt

1

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3. Montrer que

s = Z

0

8t 5 + 4 √

2 t 4 + 8t 3 − 4 √ 2

t 8 − 1 dt

4. Quelles sont les racines complexes du polynôme X 8 − 1 ? En déduire sa factorisation dans R [X] . On admet

8X 5 + 4 √

2 X 4 + 8X 3 − 4 √

2 = 8(X 2 + 1)(X 2 + √

2 X + 1)(X − 1

√ 2 ) En déduire une nouvelle expression de s comme une intégrale simpliée entre 0 et 1 . 5. Déterminer les réels α , β , γ , δ tels que

16 X − 1

(X 2 − 2X + 2)(X 2 − 2) = αX + β

X 2 − 2X + 2 + γX + δ 2 − X 2 6. En déduire s .

Problème.

x n 16 ⁻ⁿ ) _n∈N avec :

x ₀ = 47

15 , x ₁ = 106

819 , x ₂ = 829 19635

x n 16 ⁻ⁿ ) _n∈

∀n ∈ N , s = s _n + ε _n , s _n =

x _k 16 ^−k .

∀n ∈ N , 0 < ε n < 16 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ .

Soit x ∈ R et n ∈ N. On note a _n (x) l'approximation hexadécimale par défaut de x à l'ordre n :

x = a n (x) + b n (x) avec a n ∈ Z × 16 ⁻ⁿ et 0 ≤ b n (x) < 16 ⁻ⁿ 1. On suppose qu'il existe u et v dans N ^∗ tels que x = ^u _v .

a. Exprimer a n (x) et b n (x) en fonction du quotient q n et du reste r n de la division de 16 ⁿ u par v .

b. Exprimer, en fonction de q n (x) , le coecient de 16 ⁻ⁿ dans le développement de x en base 16.

c. Exprimer, en fonction de r n (x) , le coecient de 16 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ dans le développement de x en base 16.

2. Former la suite des restes des divisions de 16 ⁿ ×47 par 15 . En déduire le développement hexadécimal de x 0 .

16 × 106 = 2 × 819 + 58, 16 × 58 = 1 × 819 + 109, 16 × 829 = 13264 a. Former un tableau donnant les coecients de 16 ⁻ⁿ (avec n ∈ J 0, 4 K) des dévelop-

pements hexadécimaux de x 0 16 ⁻⁰ , x 1 16 ⁻¹ , x 2 16 ⁻² , ε 2 en plaçant un ? pour les coecients que vous ne pouvez pas calculer facilement.

0 t ^8n+l dt . Comment doit-on choisir c pour faire apparaitre les suites gurant dans 16 ⁻ⁿ x _n ?

X c ^8n+l+1 8n + l + 1

∀c ∈ ]0, 1[, ∀t ∈ [0, c], t ⁸

1 − t ⁸ ≤ c ⁸ 1 − c ⁸ b. Montrer que

t ^l 1 − t ⁸ −

t ^8i+l

≤ c ^8n+8+l 1 − c ⁸ c. En déduire

c ^8i+l+1 8i + l + 1 =

t ^l 1 − t ⁸ dt

8t ⁵ + 4 √

2 t ⁴ + 8t ³ − 4 √ 2

t ⁸ − 1 dt

4. Quelles sont les racines complexes du polynôme X ⁸ − 1 ? En déduire sa factorisation dans R [X] . On admet

8X ⁵ + 4 √

2 X ⁴ + 8X ³ − 4 √

2 = 8(X ² + 1)(X ² + √

(X ² − 2X + 2)(X ² − 2) = αX + β

X ² − 2X + 2 + γX + δ 2 − X ² 6. En déduire s .

− ^π ₂ , ^π ₂ , on dénit l'endomorphisme r p,q,θ

∀i ∈ J 1, n K , r _p,q,θ (e _i ) =

− sin θe _p + cos θe _q si i = q

On note R _p,q (θ) la matrice de r _p,q,θ dans E et, pour tout i ∈ J 1, n K, e ⁰ _i = r _p,q,θ (e _i ) . Pour toute matrice M = (m i,j ) _(i,j)∈

on note kM k ² = X

m ² _i,j = tr( ^t M M )

la famille E ⁰ = (e ⁰ ₁ , · · · , e ⁰ _n ) est orthonormée.

Soit f un endomorphisme de E dont la matrice dans la base E est symétrique. On la note S = (s i,j ) _(i,j)∈

. On suppose s p,q 6= 0 et on pose S ⁰ = s ⁰ _i,j

= ^t R p,q (θ) S R p,q (θ).

1. Montrer que S ⁰ est symétrique et que

2 , s ⁰ _i,j =< e ⁰ _i /f (e ⁰ _j ) > . 2. Calcul de S ⁰ .

a. Exprimer s ⁰ _p,p et s ⁰ _q,q en fonction de s _p,p , s _q,q , s _p,q . En déduire s ⁰ _p,p + s ⁰ _q,q = s _p,p + s _q,q

b. Exprimer s ⁰ _p,q en fonction de s p,p , s q,q , s p,q .

c. Pour k / ∈ {p, q} , exprimer s ⁰ _p,k et s ⁰ _q,k en fonction de s _p,k , s _q,k . 3. On cherche un θ pour lequel s ⁰ _p,q = 0 .

a. Montrer que s ⁰ _p,q = 0 si et seulement si tan θ est une solution de l'équation d'in- connue t

t ² + s p,p − s q,q

s p,p − s q,q = 1 − t ² ₀

t ₀ s p,q , s ⁰ _p,p − s p,p = t 0 s p,q , s ⁰ _q,q − s q,q = −t 0 s p,q .

On décompose de même S ⁰ en S ⁰ = D ⁰ + E ⁰ . a. Montrer que

kE ⁰ k ² = kEk ² − 2s ² _p,q . b. Montrer que

kS ⁰ k ² = kSk ² , kSk ² = kDk ² + kEk ² , kS ⁰ k ² = kD ⁰ k ² + kE ⁰ k ² . En déduire une expression de kD ⁰ k ² en fonction de kDk ² et s ² _p,q .

6. Montrer que les coecients de S ⁰ s'expriment uniquement en fonction de ceux de S et de t 0 = tan θ 0 .

7. On suppose dans cette question que s p,q est le coecient de E de plus grande valeur absolue parmi les s _i,j avec i 6= j .

a. Montrer que kEk ² ≤ n(n − 1)s ² _p,q . En déduire une minoration de s ² _p,q en fonction de kEk et de n .

b. Montrer que kE ⁰ k ≤ ρ kEk où ρ < 1 est une constante que l'on précisera.

c. Montrer que kD − D ⁰ k ≤ kEk .

8. a. En utilisant les questions II.2. et II.4., montrer que s ⁰ _q,q − s ⁰ _p,p = − 1 + t ² ₀

t ₀ s p,q . b. En calculant (s ⁰ _q,q − s ⁰ _p,p ) ² − (s _q,q − s _p,p ) ² , montrer que

s ⁰ _q,q − s ⁰ _p,p

9. a. Montrer que s p,p − s ⁰ _p,p et s ⁰ _q,q − s q,q sont du même signe que s q,q − s p,p . b. Soit i ∈ J 1, n K, montrer que

s i,i − s ⁰ _q,q +

s i,i − s ⁰ _p,p

|s i,i − s j,j | , R ⁰ = X

s ⁰ _i,i − s ⁰ _j,j

R ⁰ − R ≥ 2

s ⁰ _q,q − s _q,q +