Partie I. Convergences.

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Énoncé

Ce texte porte sur une série convergente pour laquelle on dispose à la fois d'une expression exacte simple de la somme et d'un algorithme ecace permettant de calculer le développement hexadécimal (en base 16) de cette somme (formule de S. Ploue 1997).

On considère la série(Px_n16⁻ⁿ)_n∈

N avec :

∀n∈N, xn = 4

8n+ 1− 2

8n+ 4− 1

8n+ 5− 1 8n+ 6. Les premières valeurs dexn sont

x0= 47

15, x1= 106

819, x2= 829 19635

Partie I. Convergences.

1. Montrer que(Pxn16⁻ⁿ)_n∈

Nest une série à termes positifs convergente.

On notessa somme,sn la somme partielle et εn le reste à l'ordren:

∀n∈N, s=sn+εn, sn=

n

X

k=0

xk16^−k.

2. Montrer que

∀n∈N, 0< εn<16⁻⁽ⁿ⁺¹⁾.

Partie II. Développements hexadécimaux.

Soit x ∈ R et n ∈ N. On note an(x)l'approximation hexadécimale par défaut de xà l'ordren:

x=an(x) +bn(x)avecan∈Z×16⁻ⁿ et 0≤bn(x)<16⁻ⁿ 1. On suppose qu'il existeuet vdansN^∗ tels quex=^u_v.

a. Exprimera_n(x)etb_n(x)en fonction du quotientq_n et du rester_n de la division de16ⁿuparv.

b. Exprimer, en fonction deqn(x), le coecient de 16⁻ⁿ dans le développement de xen base 16.

c. Exprimer, en fonction dern(x), le coecient de 16⁻⁽ⁿ⁺¹⁾dans le développement dexen base 16.

2. Former la suite des restes des divisions de16ⁿ×47par15. En déduire le développement hexadécimal dex0.

3. Les divisions suivantes sont données :

16×106 = 2×819 + 58, 16×58 = 1×819 + 109, 16×829 = 13264 a. Former un tableau donnant les coecients de16⁻ⁿ (avecn∈J0,4K) des dévelop-

pements hexadécimaux dex016⁻⁰,x116⁻¹,x216⁻²,ε2 en plaçant un ? pour les coecients que vous ne pouvez pas calculer facilement.

b. Quel développement hexadécimal despeut-on en déduire ?

4. Écrire à l'aide de puissances de 16 l'encadrement de s correspondant à la question précédente. En déduire une approximation décimale des.

Partie III. Calculs formels de sommes.

Dans cette partie,creprésente un réel de]0,1[etl un entier naturel.

1. a. Calculer Rc

0 t^8n+ldt. Comment doit-on choisir c pour faire apparaitre les suites gurant dans16⁻ⁿx_n?

b. Montrer la convergence de la série

X c^8n+l+1 8n+l+ 1

n∈N

.

2. Expression des sommes élémentaires.

a. Montrer que

∀c∈]0,1[, ∀t∈[0, c], t⁸

1−t⁸ ≤ c⁸ 1−c⁸ b. Montrer que

∀t∈[0, c],∀n∈N,

t^l 1−t⁸ −

n

X

i=0

t^8i+l

≤ c^8n+8+l 1−c⁸

c. En déduire

+∞

X

i=0

c^8i+l+1 8i+l+ 1 =

Z c 0

t^l 1−t⁸dt

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Aploue

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3. Montrer que

s= Z ^√¹₂

0

8t⁵+ 4√

2t⁴+ 8t³−4√ 2

t⁸−1 dt

4. Quelles sont les racines complexes du polynômeX⁸−1? En déduire sa factorisation dansR[X]. On admet

8X⁵+ 4√

2X⁴+ 8X³−4√

2 = 8(X²+ 1)(X²+√

2X+ 1)(X− 1

√2)

En déduire une nouvelle expression descomme une intégrale simpliée entre0 et1. 5. Déterminer les réelsα,β, γ,δtels que

16 X−1

(X²−2X+ 2)(X²−2) = αX+β

X²−2X+ 2 +γX+δ 2−X² 6. En déduires.

Corrigé

Partie I. Convergence.

1. La série(P

xn16⁻ⁿ)_n∈Nest à termes positifs car 1

8n+ 5 < 1 8n+ 4 1

8n+ 6 < 1 8n+ 4







⇒x_n>4 1

8n+ 1− 1 8n+ 4

>0.

Elle est convergente car

∀n∈N, x_n16⁻ⁿ < 4

8n+ 116⁻ⁿ< 4

8n16⁻ⁿ= 1

2n16⁻⁽ⁿ⁾<

1 16

ⁿ

qui est le terme général d'une série géométrique convergente.

2. La minoration 0 < r_n vient de ce que la série est à terme positif. Majorons comme dans la question précédente :

∀k > n, x_k16^−k≤ 1

2(n+ 1)16^−k. On en déduit

∀m > n,

m

X

k=n+1

xk16^−k ≤16⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ n+ 1

1 + 16⁻¹+· · ·+ 16^{−(m−n−1)}

≤ 16⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ n+ 1

1

1−₁₆¹ = 16

15(n+ 1)16⁻⁽ⁿ⁺¹⁾<16⁻⁽ⁿ⁺¹⁾. On peut noter que l'on a un peu gaspillé le terme enn+ 1 du dénominateur. En fait le reste est négligeable devant2⁻⁴ⁿ.

Partie II. Développements hexadécimaux.

1. a. Écrivons la division euclidienne, divisons parq puis multiplions par16⁻ⁿ 16ⁿu=qnv+rn avec0≤rn< q⇒16ⁿx=qn+rn

q avec0≤rn

q <1

⇒x= 16⁻ⁿq_n+ 16⁻ⁿr_n

q avec0≤16⁻ⁿr_n

q <16⁻ⁿ.

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On en déduit

an(x) = 16⁻ⁿqn, bn(x) =16⁻ⁿrn

q .

b. D'après la question a., le coecient de16⁻ⁿ dans le développement de xest le reste modulo16deqn.

c. D'après la question a., le coecient de16⁻⁽ⁿ⁺¹⁾dans le développement de xest le quotient de la division parqde16×q_n.

2. Comme47 est congru à2 modulo15 et 16congru à 1 modulo15, la suite des restes modulo15de16ⁿ×47est constante égale à2. La même division 16×2 = 2×15 + 2 se repète. Le développement hexadécimal dex0 ne contient que des2 sauf le premier coecient égal à3.

3. a. D'après la question 2., la première ligne du tableau ne contient que des2. Les deux premières divisions nous donnent

x1= 2×16⁻¹+ 58

819 ×16⁻¹= 2×16⁻¹+ 1×16⁻²+109

819×16⁻². On en déduit la deuxième ligne.

Comme16×829<19635, on ax2<16⁻¹donc la troisième ligne commence par quatre0. La troisième ligne également à cause de la question I.2.ε2<16⁻³.

n 0 1 2 3 4

x₀ 3 2 2 2 2

x116⁻¹ 0 0 2 1 ? x₂16⁻² 0 0 0 0 ?

ε2 0 0 0 0 ?

b. Dans le tableau précédent, il manque trois valeurs dans la dernière colonne. Il est possible qu'une retenue soit nécessaire mais même avec une retenue (la plus grande possible est2), la somme des termes de la colonnen= 3sera strictement plus petite que 16. On en déduit que les colonnes précédentes fournissent un développement correct.

Le développement hexadécimal descommence par3.24 4. D'après la question précédente

3 + 2×16⁻¹+ 4×16⁻²< s <2 + 2×16⁻¹+ 5×16⁻²

⇔3 + 1 8+ 1

64 < s <3 +1 8 + 5

256

⇒3.13970< s <3.14454

Partie III. Calculs formels de sommes.

1. a. Il est évident que

Z c 0

t^8n+ldt= c^8n+l+1 8n+l+ 1. Pour faire apparaitre le16⁻ⁿ il faut choisir c= ^√¹

2.

b. La série est à termes positifs, elle est majorée par une série géométrique convergente carc <1. Elle est donc convergente.

2. a. Comme les dénominateurs sont positifs, la diérence (droite - gauche) est du signe de

c⁸(1−t⁸)−t⁸(1−c⁸) =c⁸−t⁸>0cart < c.

On en déduit l'inégalité demandée.

b. On utilise la formule pour la somme des termes en progression géométrique

n

X

i=0

t^8i+l=t^k1−t⁸⁽ⁿ⁺¹⁾ 1−t⁸ ⇒ t^l

1−t⁸ −

n

X

i=0

t^8i+l= t^8(n+1)+l 1−t⁸

⇒

t^l 1−t⁸ −

n

X

i=0

t^8i+l

≤c^8n+l t⁸

1−t⁸ ≤ c^8(n+1)+l 1−c⁸ .

c. Notons

θn(t) = t^l 1−t⁸ −

n

X

i=0

t^8i+l

de sorte que

t^l 1−t⁸dt=

n

X

i=0

t^8i+l+θn(t)

Intégrons entre0 etc :

Z c 0

t^l 1−t⁸dt=

n

X

i=0

c^8i+l+1 8i+k+ 1 +

Z n 0

θ_n(t)dt

De plus

Z n 0

θn(t)dt

≤ Z c

0

|θn(t)|dt≤c^8(n+1)+l+1 1−c⁸ .

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Pour0< c <1xé, la suite ennà droite converge vers0. Comme on sait que la série converge, on obtient une valeur pour la somme

Z c 0

t^l 1−t⁸dt=

+∞

X

i=0

c^8i+l+1 8i+l+ 1. 3. Considéronsc=^√¹

2 dans la relation précédente.

+∞

X

i=0

c^8i+l+1 8i+l+ 1 =

1

√2

^{l+1 +∞}

X

i=0

16⁻ⁱ 8i+l+ 1 On combine ces relations :

pourl= 0, on multiplie par4 pourl= 3, on multiplie par−2 pourl= 4, on multiplie par−1 pourl= 5, on multiplie par−1 On obtient

s= 4√ 2

Z ^√¹₂

0

1

1−t⁸dt−8 Z ^√¹₂

0

t³

1−t⁸dt−4√ 2

Z ^√¹₂

0

t⁴

1−t⁸dt−8 Z ^√¹₂

0

t⁵ 1−t⁸dt

= Z ^√¹₂

0

8t⁵+ 4√

2t⁴+ 8t³−4√ 2

t⁸−1 dt

4. Les racines deX⁸−1 sont les racines8-èmes de l'unité U8=

1,1 +i

√2 , i,−1 +i

√2 ,−1,−1−i

√2 ,−i,1 +i

√2

En regroupant les racines conjuguées, on obtient X⁸−1 = (X−1)(X+ 1)(X²+ 1)(X²+√

2X+ 1)(X²−√

2X+ 1).

La fraction dans l'intégrale se simplie donc par(X²+ 1)(X²+ 1)(X²+√

2X+ 1) : s=

Z ^√¹₂

0

8(t−^√¹

2) (t²−1)(t²−√

2t+ 1)dt On procède au changement de variablex=√

2t : s=

Z 1 0

√8

2(x−1) (^x₂² −1)(^x₂² −x+ 1)

√dx 2 = 16

Z 1 0

x−1

(x²−2)(x²−2x+ 2)dx

5. La décompostion proposée découle d'une décomposition en éléments simples. On cal- cule les coecients en formant des équations. On multiplie parxet on va en ∞, on prend les valeurs en0 en1 et en−1.











α−γ=0 β

2 +δ 2 =4 α+β+γ+δ=0

−α+β

5 −γ+δ=32 5 Après calculs, on trouveα=γ=−4, δ= 0et β= 8soit :

16 X−1

(X²−2X+ 2)(X²−2) = −4X+ 8

X²−2X+ 2 + −4X 2−X² 6. On met la fraction sous une forme plus commode à intégrer :

16 X−1

(X²−2X+ 2)(X²−2) =−2 2X−2

X²−2X+ 2+ 4 1

1 + (X−1)² + 2 −2X 2−X² On en déduit

s=−2

ln(x²−2x+ 2)¹

0+ 4 [arctan(x−1)]¹₀+ 2

ln(2−t²)¹

0

=−2 ln 2 + 4π

4 + 2 ln 2 =π