I. Calcul de la somme d’une série

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/25

Centrale Maths 1 MP 2004 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Université de Stanford).

Ce problème vise à étudier une fonctionF, définie sur une partie deC, et à valeurs complexes, par

F(z) = Z 1

0

t^−z ln(t)·ln(1−t)

t dt.

L’un de ses intérêts est qu’il utilise toutes les parties du programme d’analyse de seconde année : majorations de toutes sortes, équivalents, séries numériques, séries de fonctions (à intégrer, dériver, etc.), séries entières, séries de Fourier, intégrabilité sur un intervalle non compact, intégrales à paramètres, etc.

Il montre de plus, dans un cas particulier, quelques résultats généraux sur les fonctions de la variable complexe (qui sont au programme de première année de toutes les écoles d’ingénieur). Les démonstrations sont toujours élémentaires (ce qui ne veut pas dire qu’elles sont toujours simples !) et ne requièrent bien entendu que les connaissances du programme de deuxième année.

• Une première partie, assez courte, vise à calculer la valeur d’une série numé- rique.

• Dans une deuxième partie, on commence par montrer des propriétés de régu- larité deF: elle est de classeC^∞ sur un demi-plan ouvert deCassimilé à une partie deR², son laplacien est identiquement nul etFadmet, au voisinage de0, un développement en série entière de la forme

F(z) = P∞ k=0

c^kz^k où c^k = 1 k!

Z 1 0

(−lnt)^kp(t) dt (1)

• Dans la dernière partie, on établit un second développement en série de F, sous la forme

F(z) = P∞ n=1

1 n(n−z)²

Plusieurs propriétés découlent de cette formule, qui sont proposées à la sagacité des candidats. De plus, on montre que cette formule permet de prolonger F en une fonction, toujours de classe C^∞, à un domaine beaucoup plus vaste deC; c’est ce que l’on appelle unprolongement analytique deF.

Au total, ce problème est très long et très technique (les différents théorèmes d’interversion de limites, intégrales, sommes, etc., sont constamment employés, et souvent dans des cas délicats) ; certaines questions sont très difficiles, ou trop longues pour qu’on puisse en espérer une résolution complète en temps limité.

Néanmoins, il peut fournir un très bon sujet d’étude, juste avant les écrits, pour des candidats ambitieux cherchant à revoir l’ensemble du programme d’analyse.

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Indications

I.A.2 Utiliser le théorème de Dirichlet ent=π/2.

I.B.1 Développer en série entière l’intégrande de la question suivante !

I.B.2 Effectuer proprement (c’est-à-dire en coupant en0) une intégration par parties.

I.B.3 Appliquer le théorème d’intégration terme à terme.

I.B.4 Faire apparaître des(n+ 1)et (2n+ 1) au dénominateur, puis effectuer une décomposition en éléments « presque simples » de la forme

1

(n+ 1)(2n+ 1)² = a

(n+ 1)(2n+ 1)+ b (2n+ 1)² II.A Montrer que le module de l’intégrande est équivalent à|lnt|/t^x.

II.B. Utiliser le théorème de convergence dominée et la caractérisation séquentielle de la limite.

II.C.1 Montrer que la limite est ⁺∞. Pour cela, couper judicieusement l’intégrale au voisinage de0.

II.C.2 Reconnaître la dérivée « sous le signe somme » d’une intégrale simple.

II.C.3 Remarquer queF−Gpeut s’écrire sous la forme d’une intégrale à paramètre, bien définie en x= 1. Utiliser le théorème de continuité pour les intégrales à paramètres.

II.E.1 Montrer que l’on peut dériver sous le signe somme, par rapport à xou par rapport ày, et ce autant de fois que l’on veut.

II.F.1 Écrire la formule de Taylor-Young à l’ordre 1.

II.F.2 Montrer par récurrence queD^kF = ∂^kf

∂x^k .

II.H.1 Montrer que, sif est continue et intégrable sur[ 0 ; 1 [, alors

n→∞lim Z 1

0

|lnt|^k

k! f(t) dt=f(0) En déduire que c^k

k+ 1 tend vers1.

III.A.2 Reconnaître la dérivée « sous le signe somme » d’une intégrale simple.

III.B.2 Montrer queφest équivalent au premier terme de la série.

III.C.1 Utiliser le théorème d’intégration terme à terme. Puis montrer que H tend vers0 et donc que|H|²6|H|au voisinage de⁺−∞.

III.C.2 Séparer les cas selon les signes deαetβ et utiliser l’inégalitém+n>2√ mn.

III.C.3 Décomposer l’intégrande en éléments simples.

III.D.2 Utiliser l’inégalité des accroissements finis.

III.D.3 Montrer que, sur tout ouvert borné de Ωe contenant z, la série de fonctions définissant

w7−→ F(w)−F(z) w−z

converge normalement, grâce à la majoration de la question III.D.2.

III.E.1 Montrer quec^k= D^kF(0)/k!. III.E.2 Montrer queS(k) =

P∞ n=1

n⁻⁽^k⁺³⁾tend vers1quand k→ ∞.

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I. Calcul de la somme d’une série

I.A.1 Comme à chaque fois que l’on doit calculer des coefficients de Fourier, commençons par représenter la fonction :

−π π

Notonsan et bn les coefficients en cosinus et sinus. Puisque f est impaire :

∀n∈N aⁿ= 0 Par ailleurs,

bⁿ = 1 π

Z ^π

−π

f(t) sin(nt) dt= 2 π

Z ^π

0

sin(nt) dt=−2 π

cos(nt) n

^π

0

=− 2

nπ (−1)ⁿ−1 c’est-à-dire que ∀n∈N b2n = 0 et b2n+1= 4

(2n+ 1)π Les sommes partielles de Fourier sont donc

∀n∈N ∀t∈R S2nf(t) = S2n+1f(t) = 4 π

Pn k=0

sin (2k+ 1)t 2k+ 1

I.A.2 La fonction f est de classe C¹ par morceaux et vérifie, pour tout réel x, la relation

f(x) = 1 2

h→0lim⁺f(x+h) + lim

h→0⁺f(x−h)

Le théorème de Dirichlet assure donc que

La suite(Sⁿf)^n∈Nconverge simplement versf surR.

ce qui s’écrit ∀t∈R f(t) = lim

n→∞Sⁿ(f) = 4 π

P∞ n=0

sin (2n+ 1)t

2n+ 1 (2)

Bien sûr, la convergence simple n’est pas la seule que l’on peut montrer. Notamment, la continuité par morceaux def implique que

n→∞lim 2 π

Z ^π

−π|Sⁿf −f|²= 0 c’est-à-dire que :

La suite(Sⁿf)ⁿ∈Nconverge en moyenne quadratique versf surR.

La fonction f n’étant pas continue, on n’a en revanche ni convergence normale ni convergence uniforme.

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En appliquant la formule (2) en t = π

2 , on obtient sin

(2n+ 1)π 2

= (−1)ⁿ

et donc

fπ 2

= 1 = 4 π

P∞ n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1 d’où

P∞ n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1 = π

4

Un exercice classique consiste à retrouver ce résultat en utilisant le dévelop- pement en série entière de la fonction Arctan:

∀x∈]−1 ; 1 [ Arctanx= P∞ n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ 2n+ 1

On montre ensuite que ce développement est continu en 1 (c’est-à-dire au bord de l’intervalle ouvert de convergence) : une majoration uniforme du reste de cette série, qui est le reste d’une série alternée, prouve la convergence uniforme sur [ 0 ; 1 ].

I.A.3 La fonctionfétant continue par morceaux, la formule de Parseval s’applique : 1

2 P∞

n=0|bⁿ|²=kfk²²= 1 2π

Z ^π

−π

f(t)²dt= 1

ce qui donne S1=

P∞ n=0

1

(2n+ 1)² = π² 8

I.B.1 On a ∀x∈R |x²ⁿ|

n+ 1 6|x²ⁿ|

Le membre de droite est le terme général d’une série géométrique, convergente dès que

|x²|<1. D’après le théorème de comparaison des séries positives, la série définissantL converge sixest dans]−1 ; 1 [.

Si|x|= 1, alors on reconnaît la série harmonique, notoirement divergente.

Enfin, si |x| > 1, la série diverge grossièrement, car son terme général ne tend pas vers0.

La série entièreL est de rayon1et converge sur]−1 ; 1 [.

La série définissantLfait penser au développement en série entière de la fonction x7−→ −ln(1−x), à ceci près que l’on ax²ⁿau lieu dexⁿet unn+1au dénominateur au lieu dunattendu. Qu’à cela ne tienne, posons, pour toutx∈]−1 ; 1 [r{0}:

K(x) = P∞ n=0

xⁿ n+ 1 = 1

x P∞ n=1

xⁿ n =−1

xln(1−x) alors on aL(x) = K(x²), c’est-à-dire

L(x) =





−ln(1−x²)

x² pour toutx∈]−1 ; 1 [r{0} 1 pour x= 0

cette fonction étant bien sûr continue en0.