Stanislas
Exercices
Séries Numériques
Chapitre XVIII MPSI 1
2015/2016
I - Exemples
Exercice 1. (-)Pour tout entier natureln non nul, on posecn=
n
P
k=1 1
k−lnn. 1. Déterminer un équivalent decn−cn−1.
2. Montrer que(cn)n∈N? converge.
3. En déduire la limite de la série de terme généralun= n(4n12−1).
Exercice 2. (-)Soita∈R+. Déterminer la nature des séries de terme général 1. n2+a1 2.
2. ann2. 3. √
n+ 1−√ n.
4.
√n+1−√ n
n .
5. n1 + ln
1−n+11 .
6.
q
tanna−sinna . 7. sin
π(2−√ 3)n
. 8. sin
π(2 +√ 3)n
. 9. (√n
n−1)n.
Exercice 3.Soitaun réel. On considère la série de terme généralun= ln
√n+(−1)√ n
n+a . Déterminer un développement asymptotique deln
1 +(−1)√nn
+ ln
√n
√n+a et en déduire une condition nécessaire et susante surapour que P
un converge.
Exercice 4. (Séries de Bertrand,♥)
1.Soit(an)n∈N?une suite décroissante de réels positifs. Montrer queP
anconverge si et seulement siP
2na2n converge.
2. Retrouver le critère de convergence des séries de Riemann.
3. Montrer que la série de Bertrand.P 1
n(lnn)β converge si et seulement si β >1. II - Divers
Exercice 5.Soit (un) une suite à termes positifs et décroissante. Si P
un converge, montrer que un=o n1
. Montrer que ce résultat est faux sans l'hypothèse de monotonie.
Exercice 6. (Règle d’Abel,♥)Soit P
un une série. On suppose que pour tout entier naturel n, un=αnvn, où
(i). (αn) est une suite décroissante et tendant vers 0, (ii). P
vn est bornée.
On note(Vn) la suite des sommes partielles de termes général vn. 1. Montrer que pour toutn∈N, Pn
k=0
uk=α0v0+
n
P
k=1
αk(Vk−Vk−1).
2. Montrer que n−1
P
k=1
(αk−αk+1)Vk
converge.
3. En déduire queP
unest convergente.
Stanislas A. Camanes
Exercices. Séries Numériques MPSI 1
4. Application. Soient (an) et (bn) deux suites telles que P
an converge et (bn) est monotone bornée. Montrer queP
anbn converge.
Exercice 7. (Convergence vers un point fixe,♥) Soit (un) la suite dénie par u0 ∈]0,π2] et pour toutn∈N,un+1= sinun.
1. Montrer que(un) est bien dénie et converge vers0.
2. Déterminer un équivalent de u21 n+1
−u12
n. 3. En déduire queun∼
q3 n. 4. Déterminer un équivalent de
1 u2n+1 −u12
n −13 . 5. En déduire que u2n = n3 + lnn5 +o(lnn)−1
puis un développement asymptotique à l'ordre 2 de (un).
On pourra utiliser le lemme de Cesaro.
Exercice 8.Soitf : R+→R?+ une fonction de classe C1 telle que
x→+∞lim f0(x)
f(x) =−∞.
1.SoitA >0. Montrer qu'il existe un entier naturelntel que pour toutp>0,lnf(n+p)f(n) 6−pA. 2. En déduire queP
f(n) converge.
3.Soient(Rn)la suite des restes de la sérieP
f(n)etA >0. Montrer qu'il existe n0∈Ntel que pour tout n>n0,06Rn+1 6 1−ee−A−Af(n).
4. En déduire un équivalent deRn. 5. En déduire un équivalent de +∞P
p=n
e−p2.
Stanislas A. Camanes
