Séries numériques
Rédaction incomplète. Version 0.1
le 15 juin 2020Plan
I. Dénitions . . . . 1
1. Vocabulaire . . . . 1
2. Conditions élémentaires . . . . 2
3. Séries géométriques . . . . 3
II. Séries à termes positifs . . . . 3
III. Comparaison série - intégrale. . . . 4
IV. Séries absolument convergentes . . . . 5
V. Représentation décimale des réels . . . . 6
Index
approximation décimale par défaut, 6 développement décimal, 7
divergence grossière, 2 fonction ζ de Riemann, 6 lien suite - série, 2 nombre décimal, 6
représentation décimale des réels, 7 série absolument convergente, 5 série de Bertrand, 5
série de Riemann, 5
série harmonique, 3
série harmonique alternée, 6 série semi-convergente, 6 séries géométriques, 3 séries : convergence, 2 séries : divergence, 2 somme d'une série, 2 sommes partielles, 1
suite des restes d'une série convergente, 2
I. Dénitions
1. Vocabulaire
En tant qu'objet mathématique, une série numérique est une suite de nombres réels ou complexes dénie sur des entiers supérieurs ou égaux à un entier xé n
0. On adopte pourtant des notations diérentes :
X u
kk≥n0
pour une série = (u
k)
k≥n0
pour une suite On dit aussi que ( P u
k)
k≥n0
ou seulement P u
k(s'il n'est pas utile de préciser le premier terme) est la série de terme général u
k.
La diérence de vocabulaire traduit la diérence de dénition de la convergence d'une suite ou d'une série. Pour dénir la convergence d'une série, on introduit la suite de ses sommes partielles :
n
X
k=n0
!
n ≥ n
0.
Dénition. Une série est convergente si et seulement si la suite de ses sommes partielles est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite des sommes partielles est appelée la somme de la série. Elle est notée :
+∞
X
k=n0
u
k.
Une série est dite divergente si et seulement si elle n'est pas convergente.
Pour une série convergente (et seulement dans ce cas), on peut dénir la suite de ses restes En notant S
n= P
nk=n0
u
kles sommes partielles, le reste d'indice n est
+∞
X
k=n0
u
k− S
n= lim
m
(S
m− S
n0) = lim
m m
X
k=n+1
u
k!
=
+∞
X
k=n+1
u
k.
Un reste est donc encore la somme d'une série convergente. Si on note r
n= P
+∞k=n+1
u
ket S la somme, on peut la décomposer :
S = S
n+ r
n. La suite des restes d'une série convergente converge vers 0 . Exemple. Série de terme général
k(k+1)1.
Elle est convergente de somme 1 car on peut obtenir une expression de la suite des sommes partielles par dominos 1
k(k + 1) = 1 k − 1
k + 1 ⇒
n
X
k=1
1
k(k + 1) = 1 − 1
n + 1 → 1.
Proposition. Pour un entier n
0donné, l'ensemble des séries convergentes dénies pour les entiers plus grands que n
0est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites. La somme est une forme linéaire.
∀ λ ∈
R, ∀ X u
kk≥n0
, X
v
kk≥n0
convergentes :
X u
k+ v
kk≥n0
, X
λu
kk≥n0
convergentes
+∞
X
k=n0
λu
k= λ
+∞
X
k=n0
u
k+∞
X
k=n0
u
k+ v
k=
+∞
X
k=n0
u
k+
+∞
X
k=n0
v
kPreuve. Il sut d'appliquer les théorèmes usuels sur les suites convergentes aux suites de sommes partielles.
On pourrait avoir l'impression que les sommes partielles des séries sont des suites très particulières. En fait, n'importe quelle suite peut être considérée comme la suite des sommes partielles d'une série. Il sut de considérer la diérence entre deux termes consécutifs.
Soit (x
n)
n≥n0
une suite quelconque. On peut dénir une série ( P u
n)
n≥n0
dont (x
n)
n≥n0
est la suite des sommes partielles en posant
u
n0= x
n0∀ n > n
0: u
n= x
n− x
n−1)
⇒ ∀ n ≥ n
0:
n
X
k=n0
u
k= x
n(sommation en dominos).
Dénition. On dit que deux séries sont de même nature si et seulement si la convergence de l'une est équivalente (logiquement) à la convergence de l'autre. Cela revient aussi à l'équivalence des divergences.
2. Conditions élémentaires
Proposition. Si une série ( P u
k)
k≥n0
converge, alors la suite (u
k)
k≥n0converge vers 0 . Si le terme général d'une série ne converge pas vers 0 , on dit que la série est grossièrement divergente ou trivialement divergente.
Preuve. Notons (U
n)
n≥n0la suite des sommes partielles : ∀ n ≥ n
0, U
n= P
nk=n0
u
k. Si (U
n)
n≥n0converge, alors la suite extraite (U
n−1)
n≥n0+1aussi et vers la même limite donc la diérence tend vers 0 . Comme U
n− U
n−1= u
n, ceci montre que (u
k)
k≥n0converge vers 0 .
La convergence vers 0 du terme général d'une série est une condition nécessaire à la convergence de la série mais elle n'est pas susante.
Exemples de séries divergentes dont le terme général converge vers 0 (non trivialement divergentes).
La série P
ln(1 +
1k) diverge bien que son terme général tende vers 0 . En eet ln(1 +
1k) ∼
1k→ 0 mais
n
X
k=1
ln(1 + 1 k ) =
n
X
k=1
(ln(1 + k) − ln(k))) = ln(n + 1) → + ∞ .
La série P
1 kdite série harmonique diverge bien que son terme général tende vers 0 . En eet
1k→ 0 mais
2n
X
k=1
1 k
= 1 + 1
2 + 1 3
| {z }
>2×14
+ 1
4 + 1 5 + 1
6 + 1 7
| {z }
>4×18
+ · · · + 1
2
k+ · · · + 1 2
k+1− 1
| {z }
>2k× 1
2k+1
+ · · · + 1
2
n−1+ · · · + 1 2
n− 1
| {z }
>2n−1×21n
≥ 1 + n − 1
2 → + ∞ .
3. Séries géométriques
Une série géométrique de raison q ∈
Cest convergente si et seulement si | q | < 1 . Dans ce cas, sa somme est :
+∞
X
n=0
q
n= 1 1 − q , sinon elle est grossièrement divergente.
Preuve. Ce la résulte de l'expression des sommes partielles et de la convergence ou divergence des suites géomé- triques. (1 + q + · · · + q
n)(1 − q) = 1 − q
n+1.
II. Séries à termes positifs
Dans le cas particulier d'une série à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissante. on en déduit la proposition suivante.
Proposition. Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
Preuve. La suite des sommes partielles est croissante car on passe d'une somme à la suivante en ajoutant un réel positif. On en déduit qu'une suite croissante est convergente si et seulement si elle est bornée.
Proposition. Soit ( P u
n)
n≥n0
et ( P v
n)
n≥n0
deux séries à termes positifs.
u
n∈ O(v
n) X v
nn≥n0
convergente
⇒ X
u
nn≥n0
convergente
Preuve. Par dénition de la relation de domination, il existe K > 0 tel que u
n≤ v
npour tous les n ≥ n
0. On en déduit que U
n∈ O(V
n) en notant (U
n) et (V
n) les suites des sommes partielles. Comme la série P
v
nconverge, la suite croissante V
nconverge vers une limite V qui est la borne supérieure de ces valeurs. D'où
∀ n ≥ n
0, U
n≤ LV
n≤ K V.
La suite (V
n) est croissante majorée donc convergente.
Remarque. Si P v
nest convergente avec u
n≤ v
npour tous les n alors P u
nest convergente et, par passage à la limite dans une inégalité, P
+∞k=n0
u
k≤ P
+∞k=n0
u
k.
Proposition. Si u
net v
nsont les termes généraux de deux séries à termes positifs et si u
n∼ v
n, les séries sont de mêmes nature.
Preuve. Deux suites équivalentes se dominent mutuellement. La convergence de l'une entraîne donc la convergence
de l'autre. Dans ces conditions, si une des deux diverge, l'autre doit diverger également pour ne pas entrainer la
convergence de la première.
n0+ 1 n
Fig. 1: P
nk=n0
f (k) ≤ f(n
0) + R
n n0f(t) dt
n0 n
Fig. 2: R
nn0
f (t) dt ≤ P
n−1 k=n0f (k)
III. Comparaison série - intégrale
Le principe général est de comparer une somme partielle d'une série dont le terme général est de la forme f (k) avec une intégrale de f lorsque f est monotone et à valeurs positives. Dans le cas où f est décroissante, on peut caractériser la convergence de la série. Dans le cas où f est croissante, la série est grossièrement divergente, on peut obtenir dans certains cas une équivalence pour la suite des sommes partielles.
Proposition. Soit f une fonction continue dans un intervalle [n
0, + ∞ [ et à valeurs positives. Pour k ≥ n
0, on note u
k= f (k) .
Si f est décroissante, la série ( P u
k)
k≥n0
est convergente si et seulement si les primitives de f ont une limite nie en + ∞.
Si f est croissante, la série ( P u
k)
k≥n0
est grossièrement divergente.
Preuve. Comme la fonction est à valeurs positives, la suite des sommes partielles est croissante, les primitives sont croissantes. Les convergences sont donc équivalentes au caractère borné de la suite ou d'une primitive. On forme des inégalités à l'aide des gures 1 à 4 dans lesquelles l'aire de chaque rectangle en pointillé est un terme de la série puisque sa largeur est 1.
Dans le cas où la fonction est décroissante.
Si les primitives convergent en + ∞, la majoration des sommes partielles qui se déduit de la gure 1 montre la convergence de la série. Si la série converge, la gure 2 permet de majorer une primitive et de prouver sa convergence.
Si la fonction est croissante, la suite des f (k) ne converge pas vers 0 car tous ses termes sont plus grands que f(n
0) , la série est trivialement divergente. Notons F la primitive nulle en n
0et S
nune somme partielle.
S
n=
n
X
k=n0
f (k), F (t) ≥ (t − n
0)f (n
0) ⇒ f −−→
+∞+ ∞
Dans le cas où la fonction croissante, on peut montrer (sous une hypothèse supplémentaire) que la suite des sommes partielles P
nk=n0
u
kest équivalente à la suite des F (n) . Les gures 3 et 4 conduisent à l'encadrement suivant :
F (n) + f (n
0) ≤ S
n≤ F (n) + f (n) ⇒ 1 + f (n
0) F (n) ≤ S
nF (n) ≤ 1 + f (n)
F (n)
La gure 3 pour l'inégalité à gauche et 4 pour l'inégalité à droite. Comme F diverge vers + ∞ en + ∞ et que f (n
0) est xé, les deux suites sont équivalentes si et seulement si f (n) est négligeable devant F (n) .
Ce n'est pas toujours réalisé, par exemple pour la fonction exponentielle.
n0 n−1
Fig. 3: P
n−1k=n0
f (k) ≤ R
n n0f (t) dt
n0+ 1 n
Fig. 4: R
nn0
f(t) dt ≤ − f (n
0) + P
nk=n0
f (k) Appliquons la propriété précédente à deux séries usuelles.
Proposition. α et β sont des réels :
Série de Riemann : de terme général
n1α. Elle converge si et seulement si α > 1 .
Série de Bertrand : de terme général
nα(ln1n)β. Elle converge si et seulement si α > 1 ou α = 1 et β > 1 . Preuve. Rappelons des primitives connues :
fonction primitive
1
tα
−
α−11 tα−111
tlnt
ln(ln t)
Les séries considérées sont à termes positifs à partir d'un certain rang. Pour α et β positifs, les fonctions associées sont positives et décroissantes.
IV. Séries absolument convergentes
Dénition. Une série est dite absolument convergente si et seulement si la série de ses valeurs absolues (ou modules dans le cas complexe) est convergente.
Proposition. Une série absolument convergente est convergente. Le module de la somme est alors inférieur ou égal à la somme des modules.
Preuve. Considérons une série à valeurs complexes ( P
z
n)
n∈Net la série des modules ( P | z
n| )
n∈Nqui est supposée convergente. Les sommes partielles sont notées
Z
n=
n
X
k=0
z
ket T
n=
n
X
k=0
| z
k| .
Décomposons z
nen parties réelle et imaginaire puis chacun de ces nombres réels en parties positives et négatives.
Rappelons les dénitions et propriétés :
∀ x ∈
R, x
+= max(x, 0) ≥ 0, x
−= max( − x, 0) ≥ 0, x = x
+− x
−, | x | = x
++ x
−. Introduisons des notations :
a
n= Re(z
n)
+, A
n=
n
X
k=0
a
k; b
n= Re(z
n)
−, B
n=
n
X
k=0
b
kc
n= Im(z
n)
+, C
n=
n
X
k=0
c
k; d
n= Im(z
n)
+, D
n=
n
X
k=0
d
k
⇒
( z
n= a
n− b
n+ ic
n− id
nZ
n= A
n− B
n+ iC
n− iD
n.
La série à termes positifs ( P a
n)
n∈N
est convergente car
a
n≤ | a
n| ≤ | z
n| .
La suite des A
nest donc convergente et il en est de même pour B
n, C
net D
n. Par linéarité, on en déduit la convergence de Z
n.
De plus
∀ n ∈
N,
n
X
k=0
z
k≤
n
X
k=0
| z
k|
!
⇒
+∞
X
k=0
z
k≤
+∞
X
k=0
| z
k| par passage à la limite dans une inégalité.
Exemple série de Riemann complexe. Soit α ∈
C, la série de terme généraln
−αest absolument convergente pour Re(α) > 1 . La somme de la série est la très célèbre fonction ζ de Rieman .
Dénition. Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente Exemple. La série harmonique alternée est semi-convergente. à compléter
Proposition. Soit (u
n)
n≥n0
une suite complexe, (v
n)
n≥n0
une suite de réels positifs : (u
n)
n≥n0
∈ O
(v
n)
n≥n0
X v
nn≥n0
converge
⇒ X
u
nn≥n0
absolument convergente
Preuve. à compléter
V. Représentation décimale des réels
Dénition. Pour tout n ∈
N, on noteDn= 10
−nZl'ensemble des multiples de 10
−net
D= S
n∈NZ
× 10
−n. Un nombre décimal est un élément de
D.Autrement dit, un réel x est un décimal si et seulement si il existe n ∈
Ntel que x soit un multiple de 10
−nc'est à dire si et seulement si 10
nx est entier. On peut remarquer que tout nombre décimal est rationnel (D ⊂
Q).Proposition 1. Pour tout n ∈
Net x réel, il existe un unique a
n(x) ∈
Dntel que a
n(x) ≤ x < a
n(x) + 10
−n. Ce nombre a
n(x) est l'approximation décimale par défaut à l'ordre n de s . Il vérie
a
n(x) = b 10
nx c 10
n. Preuve. Analyse.
a
n(x) ≤ x < a
n(x) + 10
−n⇒ 10
na
n(x)
| {z }
∈Z
≤ 10
nx < a
n(x)x + 1 ⇒ 10
na
n(x) = b 10
nx c ⇒ a
n(x) = b 10
nx c 10
n. Ceci assure l'unicité.
Synthèse. Le a
n(x) =
b1010nnxcvérie la condition requise d'après les propriétés de la fonction partie entière.
Remarques. Avec la dénition et le théorème d'encadrement, il est évident que la suite (a
n(x))
n∈N→ x . On peut aussi remarquer que a
0(x) = b x c.
Dans le cas particulier où x est décimal, la suite a
n(x) est stationnaire. Pour n assez grand, elle est constante de valeur x
Notation. On note m
n(x) = b 10
nx c ∈
Zet r
n(x) = x − a
n(x) ∈ [0, 10
−n[ de sorte que a
n(x) = m
n(x)
10
n, x = a
n(x)
| {z }
∈Dn
+ r
n(x)
| {z }
∈[0,10−n[
.
Pour tout n ∈
N, on dénit aussid
n+1(x) = b 10
n+1r
n(x) c. Par dénition, d
n(x) ∈
J0, 9
K(entier entre 0 et 9) car r
n(x) ∈
0, 10
−n⇒ 10
n+1r
n(x) ∈ [0, 10[ ⇒ b 10
n+1r
n(x) c ∈
J0, 9
K. Remarques. La série
P
dk(x) 10kn∈N∗
est convergente car elle est à termes positifs et majorée par la série géométrique convergente 9 P
110k
n∈N∗
.
Si x est décimal, les r
n() et les d
n(x) sont nuls à partir d'un certain rang.
Proposition 2. Pour x réel et n ∈
N, avec les notations précédentes :m
n+1(x) = 10 m
n(x) + d
n+1(x), a
n(x) = a
0(x) + d
1(x)
10 + d
2(x)
10
2+ · · · + d
n(x)
10
n, r
n(x) =
+∞
X
k=n+1
d
k(x) 10
k.
Preuve. En utilisant la notation {} pour le reste de la partie entière qui est un élément de [0, 1[ : 10
n+1r
n(x) = d
n+1(x) +
10
n+1r
n⇒ x = a
n(x) + r
n(x) = a
n(x) + d
n+1(x) 10
n+1| {z }
∈Dn+1
+
10
n+1r
n10
n+1| {z }
∈
[
0,10n+11[ .
Cette relation caractérise l'unique approximation décimale de x à l'ordre n + 1 : a
n+1(x) = a
n(x) + d
n+1(x)
10
n+1⇒ m
n+1(x) = 10
n+1a
n+1(x) = 10 m
n(x) + d
n(x).
Le développement décimal de l'approximation :
a
n(x) = a
0(x) + d
1(x)
10 + d
2(x)
10
2+ · · · + d
n(x) 10
nse déduit immédiatement par récurrence de la relation a
n+1(x) = a
n(x) +
d10n+1n+1(x).
On a déjà signalé la convergence de la série des
d10k(x)k. On peut donc considérer librement la somme et les restes de cette série. Considérons des entiers n et p avec n < p . Alors :
p
X
k=n+1
d
k(x)
10
k= a
p(x) − a
n(x) ⇒
+∞
X
k=n+1
d
k(x)
10
k= x − a
n(x) = r
n(x)
en passant à la limite dans les suites en p .
Dénition. La suite d(x) = (d
n(x))
n∈N∗est la suite des décimales de x de x . Elle donne le développement décimal propre de x c'est à dire son écriture comme la somme d'une série
x = b x c +
+∞
X
k=1
d
k(x)
10
kavec µ ∈
Zet d
k(x) ∈
J0, 9
K.
Proposition 3. Si x n'est pas décimal, l'expression de x comme une série de la forme précédente est unique. C'est à dire que si
x = µ +
+∞
X
k=1
δ
k10
kavec δ
k∈
J0, 9
K.
alors µ = b x c et δ
k= d
k(x) pour tous les k ∈
N∗.
Preuve. Un point essentiel est que
+∞
X
k=n+1
1
10
k= 1 10
n+11
1 −
101= 1 9 × 10
n.
On en déduit que, pour tout n ,
x = µ +
n
X
k=0
δ
k10
k| {z }
∈Dn
+
+∞
X
k=n+1
δ
k10
k| {z }
∈
[
0,101n]
car δ
k∈
J0, 9
K.
Comme x n'est pas décimal, aucun des restes P
+∞k=n+1 δk
10k
ne peut être égal à
101n. L'écriture précédente est donc l'unique approximation décimale de x à l'ordre n . Ceci assure l'unicité.
Remarque. Si x est décimal, il s'exprime de plusieurs manières comme la somme d'une série de ce type. Par exemple pour x = 1 ,
1 = 1 +
+∞
X
k=1
0
10
k(développement propre) et 1 = 0 +
+∞
X
k=1
9 10
k. car P
+∞k=1 1
10k
=
101 1−11 10=
19Les propositions suivantes caractérisent les nombres rationnels mais elles ne gurent pas dans le programme de la classe.
Proposition 4. Avec les notations précédentes. Si la suite des décimales (d
n(x))
n∈N∗est périodique à partir d'un certain rang alors x est rationnel.
Preuve. On suppose (d
n(x))
n≥1périodique de période l à parir d'un rang s . Notons y = d
s+1(x)
10
s+1+ d
s+2(x)
10
s+2+ · · · + d
s+l(x) 10
s+l.
Utilisons l'expression du reste de l'approximation comme reste d'une série (prop 2) : r
s(x) =
+∞
X
k=s+1
d
k(x) 10
k= y +
+∞
X
k=s+1+l
d
k(x) 10
k= y +
+∞
X
k0=s+1
d
k0+l(x) 10
k0+lavec le changement d'indice k
0= k − l dans le reste de la série. En factorisant 10
let avec la périodicité : r
s(x) = y + 1
10
lr
s(x) ⇒ r
s(x) = 10
ly 10
l− 1 ∈
Q. On en déduit que x est rationnel.
Proposition 5. Avec les notations précédentes. Si x est rationnel, la suite (d
n(x))
n∈N∗
de ses décimales est périodique à partir d'un certain rang.
Preuve. On suppose x rationnel égal à
pqavec p ∈
Zet q ∈
N∗.
Pour tout n , notons ρ
nle reste de la division de 10
np par q et considérons la suite des ρ
n.
Comme elle est à valeurs dans l'ensemble ni
J1, q − 1
K, elle ne peut être injective. Il existe donc des naturels nonnuls s et s tel que
ρ
s+l= ρ
s.
Montrons par récurrence que la suite des ρ est l -périodique à partir de s . La récurrence est initialisée par la dénition de s et l . Si ρ
k+l= ρ
kpour un k ≥ s , considérons les congruences modulo q :
ρ
k+1+l≡ 10
k+1+lp ≡ 10 × 10
k+lp
| {z }
≡ρk+l≡ρk
≡ 10 × ρ
k≡ 10 × 10
kp ≡ ρ
k+1⇒ ρ
k+1+l= ρ
k+1.
D'autre part, la suite des ρ
nest liée à celle des restes décimaux. Écrivons les divisions euclidiennes 10
np = qθ
n+ ρ
n⇒ x = p
q = θ
n10
n|{z}
∈
