Séries numériques

Stanislas

Exercices

Séries numériques

Chapitre II

2020-2021PSI

I. Nature

Exercice 1. (-) Soient z ∈ C, α ∈ R^∗ et x ∈ R^∗+\ {1}. Déterminer la nature (convergence ou divergence) des séries de terme général :

1.√

n+ 1−√ n. 2.

√n+1−√ n

n .

3.(√ⁿ

n−1)ⁿ. 4. _1+z¹n.

5. ^n!_x ln(1 +x)· · ·ln 1 + ^x_n .

6. ¹

1+√ 2+···+√

n. 7. _ntan(π/4+1/n)¹ . 8.tan_4n+1^πn −cos^π_n.

9.

h ln(n) ln(n+1)

in²

. 10.arccos 1−_n¹₂

. 11.

Z ^π

n

0

sin³(x) 1 +x dx. 12.(−1)ⁿn^−sinh(n). 13. _nα⁽⁻¹⁾+(−1)^{n n}. 14.sin

π√³

n³+n² . 15.(−1)ⁿ√

nsin ¹_n .

Exercice 2. (!) _[Centrale]Nature de la série de terme général sin(π(1 +

√ 2)ⁿ).

Exercice 3. (-) Soit (α, β) ∈ R². Déterminer, en fonction du couple (α, β), la nature de la série de terme généralu_n= (−1)ⁿn^α

ln

n+1 n−1

β

.

Exercice 4. (-) Soit ^P_Q une fraction rationnelle à coecients réels ou complexes et, pour tout entier natureln,u_n= ^P_Q(n)⁽ⁿ⁾.

1. Montrer que P

un est absolument convergente si et seulement si deg(Q)>deg(P) + 2.

2.Montrer queP

(−1)ⁿunconverge si et seulement sideg(Q)>deg(P)+

1.

Exercice 5. [Centrale]

1.Soit(a_n) une suite de réels qui converge vers0. On noteb_n= Qn k=1

(1 +

ak). La suite (bn)converge-t-elle nécessairement ? 2. Soit, pour tout n ∈ N^∗, u_n =

n

Q

k=1

1 +⁽⁻¹⁾_k^k−1

. Montrer que (u_n) converge.

Exercice 6.

1.Montrer que pour tout réelx∈[0,¹₂],(1−x)⁻¹ 6e^2x.

2. Soit N ∈ N^∗. On note k = blog₂(N)c et p1, . . . , p_k les k premiers nombres premiers. Montrer que

N

X

n=1

1 n 6exp





k

X

j=1

2 p_j



.

3. Notons P l'ensemble des nombres premiers positifs. Montrer que P

p∈P 1

p diverge.

II. Calculs de sommes

Exercice 7. (-)Montrer la convergence puis calculer la somme des séries de terme général :

1. ⁿ²⁺ⁿ⁻³_n! . 2.3ⁿsin³ ₃n+1^θ . 3. ^sin

1 n(n+1)

cos_n¹cos_n+1¹ . Exercice 8. [Mines] Montrer la convergence, puis déterminer la somme des séries de terme général

1. ⁽⁻¹⁾_3n+1ⁿ. 2. _(3n)!¹ .

Exercice 9. Pour tout n ∈ N^?, on pose Hn =

n

P

k=1 1

k. Montrer que e

+∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n·n! =

+∞

P

n=1 Hn

n!.

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Exercices II PSI

Exercice 10.Déterminer un équivalent, lorsquettend vers1⁺, deζ(t) =

+∞

P

n=1 1 n^t.

Exercice 11. (Calcul deζ(2),-)

1.Montrer que g:t7→ ^t2_sin(t/2)^/(2π)−t est de classeC¹ sur [0, π]. 2.Déterminer deux réelsα etβ tels que

Z π 0

(αt+βt²) cos(nt)dt= 1 n². 3.En déduire que ^+∞P

n=1 1 n² = ^π₆².

III. D'autres critères de convergence

Exercice 12. (Règle deDUHAMEL)Soit (u_n) une suite de termes stricte- ment positifs.

1.Montrer que si ^un+1_un = 1−^β_n +o _n¹ , alors (i). siβ >1, alors P

un converge.

(ii). siβ <1, alors P

u_n diverge.

2.Soit(a, b)∈(R^∗)². Déterminer la nature de la série de terme général : n! ln(1 + 1)· · ·ln 1 + ¹_n

.

Exercice 13. (Règle deCAUCHY)Soit(u_n)une suite de termes strictement positifs.

1.Montrer que s'il existe λ∈R+ tel que lim

n→+∞

√n

un=λ, alors (i). siλ <1, alors P

unconverge.

(ii). siλ >1, alors P

undiverge.

2.Déterminer la nature des séries de terme général : a)

2n+1 3n+4

n

. b) _(lnn)^nlnnn.

Exercice 14. (Règle d’ABEL,♥)Soit(un)une suite. On suppose que pour tout entier natureln,u_n=α_nv_n, où

(i). (αn)est une suite réelle décroissante et tendant vers 0, (ii). P

vn est bornée.

On note(V_n) la suite des sommes partielles de la série de terme général v_n.

1.Montrer que pour toutn∈N, Pⁿ

k=0

uk =α0v0+

n

P

k=1

αk(Vk−Vk−1). 2.Montrer que

_n−1 P

k=1

(αk−αk+1)Vk

converge.

3.En déduire que P

u_n est convergente.

4. Applications.

a) Soient α >0 etθ∈]0,2π[. Montrer que la série P_e^inθ

n^α converge.

b) Soient(an)et(bn)deux suites telles queP

anconverge et(bn) est monotone bornée. Montrer queP

a_nb_n converge.

IV. Exercices divers

Exercice 15. (♥)Soit (u_n) la suite dénie par sont premier termeu₀ >0 et la relation de récurrenceu_n+1 = ¹₂arctan(u_n). Pour tout entier naturel n, on pose vn= 2ⁿun.

1.Montrer que, pour tout x >0,arctan(x)6x. 2.Étudier la suite(u_n).

3.Montrer que la série P

1 v²_n+1 −_v¹₂

n

converge.

4.En déduire l'existence d'un réel strictement positif`tel queun∼ <sub>2</sub><sup>`</sup>n. Exercice 16. (!) [ENSAM]SoitP

u_ntelle que (u_n)soit décroissante et à termes positifs.

1.Montrer que siP

u_nconverge, alors lim

n→+∞nu_n= 0. 2.Que dire de la réciproque ?

Exercice 17. (!) Soit (a_n) une suite de réels. Montrer que si P a²_n converge, alorsP_an

n converge. Que pensez-vous de la réciproque ? V. Avec Python

Exercice 18. (Polynômes de HILBERT) _[Centrale] Pour tout polynôme P ∈R[X], on poseS(P) =

+∞

P

k=0 P(k)

k! .

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1. a)Montrer queS(P)est bien déni.

b)Montrer queS est une forme linéaire.

c) Calculer e⁻¹

50

P

k=0 P(k)

k! avec P =X^d, pour d∈ J1,10Kpuis avec un polynôme quelconque de degré9. Commenter.

2. On dénit la suite de polynômes (Hn) par H0 = 1 et, pour n ∈ N, H_n+1= (X−n)H_n.

a)Montrer que(H_n)n∈N est une base deR[X]. b)CalculerS(Hn) pour tout n∈N.

c)Comment calculerS(P) pour P quelconque ?

3. a) Écrire une fonction permettant de calculer les coecients de Hn

pourn∈J1,9K.

b)Donner la valeur exacte deS(Q)pourQ=X⁴+2X³−X²−2X+5. c)Expliquer les observations de la question1.c).

Mathématiciens

Cauchy Augustin-Louis (21 août 1789 à Paris-23 mai 1857 à Sceaux).

Duhamel Jean-Marie (5 fév. 1797 à St Malo-29 avr. 1872 à Paris).

Abel Niels Henrik (5 août 1802 à Frindöe-6 avr. 1829 à Froland).

Hilbert David (23 jan. 1862 à Wehlau-14 fév. 1943 à Göttingen).

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