ECS1
Exercices: Développements limités
Exercice 1. Déterminer les développements limités en0 de : 1. ex
1 +x à l'ordre2. 2. (sinx)2à l'ordre6. 3. cos(x)
(1 +x)2 à l'ordre4. Exercice 2. Donner un développement limité de :
1. ln(1 +x)
1 +x à l'ordre3 en0. 2. ex
√1 +x à l'ordre3en0. Exercice 3. Calculer les limites suivantes :
1. lim
x→0
ex2−cos(x)
x2 , 2. lim
x→0
ln(1−x) x(1 +x). Exercice 4. Calculer les limites suivantes :
1. lim
x→0
ln(1 +x)−sin(x)
x , 2. lim
x→0
cos(x)−√ 1−x2 x4 .
Exercice 5. Donner un équivalent simple en0pour les fonctions suivantes : 1. f(x) = 2 exp(x)−√
1 + 4x−√
1 + 6x2, 2. g(x) =sin(x)−√
x+ 1 + (1 + 2x)13 1 + ln(1 +x)−exp(x) ,
Exercice 6. (Dicile) Déterminer un équivalent en0 de√ x−p
sin(x). Exercice 7. Étudier la convergence des séries de terme général
1. un= sin 1
n
+ ln n−1
n
, 2. vn= tan 1
n
+ ln n+ 1
n
.
Exercice 8. On considère, d'une part, la fonction dénie pour tout x∈ Rpar ch(x) = ex+e−x
2 et d'autre part la suite(un)dénie par :
( u0= 1 un+1= un
ch(un) ∀n∈N
1. Soit(xn)une suite de nombres réels positifs. Montrer que si la série de terme généralxn converge, alors la série de terme général x2n converge aussi (on montrera qu'il existe un entier naturel N tel que : si n>N, alorsx2n6xn).
2. (a) Étudier la fonctionchet dresser son tableau de variations.
(b) Donner le développement limité à l'ordre2 dechau voisinage de0.
3. (a) Montrer que la suite(un)est strictement positive et strictement décroissante.
(b) En déduire que(un)est convergente et donner sa limite.
4. On pose, pour toutnélément deN:vn=un+1
un −1. (a) Montrer que la suite(vn)est strictement négative.
(b) Montrer que(vn)est convergente de limite nulle.
(c) Pour toutndeN∗, simplier
n−1
X
k=0
ln(1+vk). En déduire que la série de terme généralvn est divergente.
5. (a) Montrer que :vn∼ −u2n 2 .
(b) En déduire que la série de terme généralu2n est divergente.
(c) Conclure quant à la nature de la série de terme généralun.
