Programme de colle série 12
ECS 1
Semaines des 7 et 14 juin (à conrmer)
1 Variables aléatoires à densité - Cours et exercices
Variable aléatoire réelle à densité. Caractérisation de la fonction de répartition.
Densité d'une variable aléatoire. Caractérisation d'une densité. Lien entre densité et fonction de répartition.
Variables associéesY =aX+b, aveca6= 0. Densité et fonction de répartition deY en fonction de ceux de X.
Espérance d'une variable à densité. Linéarité de l'espérance. Variable centrée.
Loi uniforme sur [0,1]puis sur[a, b]: densité, fonction de répartition, espérance.
Loi exponentielle : densité, fonction de répartition, espérance. Loi de λX si X suit une loi exponentielle de paramètreλ. Absence de mémoire.
Loi normale centrée réduite, puis loi normale générale : densité, propriétés de la fonction de répartition, espérance.
Démonstrations à connaître :
Variable Y =aX +b, avec a6= 0. Densité et fonction de répartition de Y en fonction de ceux de X.
Absence de mémoire de la loi exponentielle.
Espérance de la loi normale centrée réduite.
2 Applications linéaires et matrices - Cours et exercices
Matrice d'une application linéaire dans des bases. Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Matrices lignes et formes linéaires.
Vecteur colonne des coordonnées dans une base.
Interprétation matricielle de l'image d'un vecteur.
Matrice d'une combinaison linéaire, d'une composée d'applications.
Rang d'une matrice. Lien avec le rang des applications linéaires. Rang de la transposée.
Matrice d'un endomorphisme dans une base. Rappel du binôme de Newton.
Automorphismes, lien avec les matrices inversibles.
Matrices inversibles et rang.
Polynômes d'endomorphisme, polynômes de matrice carrée. Règles de calculs.
Polynômes annulateurs. Utilisation pour trouver la réciproque d'un endomorphisme, ou la puis- sance d'une matrice.
Démonstrations à connaître :
Interprétation matricielle de l'image d'un vecteur.
Matrice d'une combinaison linéaire.
Automorphismes, lien avec les matrices inversibles.
3 Convergence des variables aléatoires - Cours et exercices
Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
Convergence en probabilité. Loi faible des grands nombres.
Convergence en loi. Cas particulier des variables aléatoires à valeurs dans N.
Approximation poissonnienne d'une loi binomiale.
Théorème Limite Central : approximation normale d'une loi binomiale ou d'une loi de Poisson.
Démonstrations à connaître : Inégalité de Markov.
Loi faible des grands nombres.
Approximation poissonnienne d'une loi binomiale.
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4 Développements limités - Cours et exercices
Dénition, unicité, somme et produit de développements limités.
Interprétation des DL à l'ordre 0 et 1 en terme de continuité et dérivabilité.
Formule de Taylor-Young.
Développements usuels en 0 : ex,ln(1 +x), 1−x1 , 1+x1 ,(1 +x)α,sin(x),cos(x). Application à l'obtention de limites et d'équivalents.
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