Développements limités

Développements limités

Développements limités

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités

Introduction

Le polynôme de Taylor Voisinages

Fonctions négligeables Développements limités Unicité

Fonctionsn-fois dérivables FonctionsC^∞

Fonctions équivalentes

Développements limités des fonctions usuelles Opérations sur les développements limités

Développements limités des fonctions usuelles – suite...

Opération sur les développements limités – suite...

Développements limités des fonctions usuelles – fin Quelques exemples

Développements limités Introduction

Un vieux souvenir....

∀x∈]−1,1[ _nlim_→∞

n

X

p=0

x^p= 1 1−x

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

Un vieux souvenir....

∀x∈]−1,1[ _nlim_→∞

n

X

p=0

x^p= 1 1−x

Développements limités Introduction

y

x

O 1

1 1−x

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

y

x

O 1

1 1−x

1

Développements limités Introduction

y

x

O 1

1 1−x

1+x

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

y

x

O 1

1 1−x

1+x+x²

Développements limités Introduction

y

x

O 1

1 1−x

1+x+x²+x³

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

y

x

O 1

1 1−x

1+x+x²+x³+x⁴

Développements limités Introduction

y

x

O 1

1 1−x

1+x+x²+x³+x⁴+x⁵

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

f(x) = 1

1−x et P_n(x) =1+x+x²+· · ·+xⁿ=

n

X

p=0

x^p

f(x)−P_n(x) = 1

1−x− 1−xⁿ⁺¹ 1−x =

xⁿ⁺¹ 1−x

Au voisinage de 0, six=0,1 (par exemple) : f(0,1)−P₆(0,1) =(10⁻¹)⁷

0,9 ≤10⁻⁶

Développements limités Introduction

f(x) = 1

1−x et P_n(x) =1+x+x²+· · ·+xⁿ=

n

X

p=0

x^p

f(x)−P_n(x) = 1

1−x−1−xⁿ⁺¹ 1−x =

xⁿ⁺¹ 1−x

Au voisinage de 0, six=0,1 (par exemple) : f(0,1)−P₆(0,1) =(10⁻¹)⁷

0,9 ≤10⁻⁶

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

f(x) = 1

1−x et P_n(x) =1+x+x²+· · ·+xⁿ=

n

X

p=0

x^p

f(x)−P_n(x) = 1

1−x−1−xⁿ⁺¹ 1−x =

xⁿ⁺¹ 1−x

Au voisinage de 0, six=0,1 (par exemple) : f(0,1)−P₆(0,1) =(10⁻¹)⁷

0,9 ≤10⁻⁶

Développements limités Introduction

Les coefficients de P_n(x) :

f(x) = (1−x)⁻¹ f(0) = 1

f⁰(x) = (1−x)⁻² f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = 2(1−x)⁻³ f⁰⁰(0) = 2 f⁰⁰⁰(x) = 2×3(1−x)⁻⁴ f⁰⁰⁰(0) = 2×3 f^iv(x) = 2×3×4(1−x)⁻⁵ f^iv(0) = 2×3×4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f⁽ⁿ⁾(x) = 2× · · · ×n(1−x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁿ⁾(0) = n!

P_n(x) =f(0)+ f⁰(0)

1 x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+ f⁰⁰⁰(0)

3! x³+

f^iv(0) 4!

x⁴+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

xⁿ

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

Les coefficients de P_n(x) :

f(x) = (1−x)⁻¹ f(0) = 1 f⁰(x) = (1−x)⁻² f⁰(0) = 1

f⁰⁰(x) = 2(1−x)⁻³ f⁰⁰(0) = 2 f⁰⁰⁰(x) = 2×3(1−x)⁻⁴ f⁰⁰⁰(0) = 2×3 f^iv(x) = 2×3×4(1−x)⁻⁵ f^iv(0) = 2×3×4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f⁽ⁿ⁾(x) = 2× · · · ×n(1−x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁿ⁾(0) = n!

P_n(x) =f(0)+ f⁰(0)

1 x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+ f⁰⁰⁰(0)

3! x³+

f^iv(0) 4!

x⁴+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

xⁿ

Développements limités Introduction

Les coefficients de P_n(x) :

f(x) = (1−x)⁻¹ f(0) = 1 f⁰(x) = (1−x)⁻² f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = 2(1−x)⁻³ f⁰⁰(0) = 2

f⁰⁰⁰(x) = 2×3(1−x)⁻⁴ f⁰⁰⁰(0) = 2×3 f^iv(x) = 2×3×4(1−x)⁻⁵ f^iv(0) = 2×3×4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f⁽ⁿ⁾(x) = 2× · · · ×n(1−x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁿ⁾(0) = n!

P_n(x) =f(0)+ f⁰(0)

1 x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+ f⁰⁰⁰(0)

3! x³+

f^iv(0) 4!

x⁴+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

xⁿ

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

Les coefficients de P_n(x) :

f(x) = (1−x)⁻¹ f(0) = 1 f⁰(x) = (1−x)⁻² f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = 2(1−x)⁻³ f⁰⁰(0) = 2 f⁰⁰⁰(x) = 2×3(1−x)⁻⁴ f⁰⁰⁰(0) = 2×3

f^iv(x) = 2×3×4(1−x)⁻⁵ f^iv(0) = 2×3×4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f⁽ⁿ⁾(x) = 2× · · · ×n(1−x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁿ⁾(0) = n!

P_n(x) =f(0)+ f⁰(0)

1 x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+ f⁰⁰⁰(0)

3! x³+

f^iv(0) 4!

x⁴+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

xⁿ

Développements limités Introduction

Les coefficients de P_n(x) :

f(x) = (1−x)⁻¹ f(0) = 1 f⁰(x) = (1−x)⁻² f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = 2(1−x)⁻³ f⁰⁰(0) = 2 f⁰⁰⁰(x) = 2×3(1−x)⁻⁴ f⁰⁰⁰(0) = 2×3 f^iv(x) = 2×3×4(1−x)⁻⁵ f^iv(0) = 2×3×4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f⁽ⁿ⁾(x) = 2× · · · ×n(1−x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁿ⁾(0) = n!

P_n(x) =f(0)+ f⁰(0)

1 x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+ f⁰⁰⁰(0)

3! x³+

f^iv(0) 4!

x⁴+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

xⁿ

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

Les coefficients de P_n(x) :

f(x) = (1−x)⁻¹ f(0) = 1 f⁰(x) = (1−x)⁻² f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = 2(1−x)⁻³ f⁰⁰(0) = 2 f⁰⁰⁰(x) = 2×3(1−x)⁻⁴ f⁰⁰⁰(0) = 2×3 f^iv(x) = 2×3×4(1−x)⁻⁵ f^iv(0) = 2×3×4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f⁽ⁿ⁾(x) = 2× · · · ×n(1−x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁿ⁾(0) = n!

P_n(x) =f(0)+ f⁰(0)

1 x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+ f⁰⁰⁰(0)

3! x³+

f^iv(0) 4!

x⁴+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

xⁿ

Développements limités Introduction

Les coefficients de P_n(x) :

f(x) = (1−x)⁻¹ f(0) = 1 f⁰(x) = (1−x)⁻² f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = 2(1−x)⁻³ f⁰⁰(0) = 2 f⁰⁰⁰(x) = 2×3(1−x)⁻⁴ f⁰⁰⁰(0) = 2×3 f^iv(x) = 2×3×4(1−x)⁻⁵ f^iv(0) = 2×3×4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f⁽ⁿ⁾(x) = 2× · · · ×n(1−x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁿ⁾(0) = n!

P_n(x) =f(0)+ f⁰(0)

1 x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+ f⁰⁰⁰(0)

3! x³+

f^iv(0) 4!

x⁴+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

xⁿ

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Introduction

Les coefficients de P_n(x) :

f(x) = (1−x)⁻¹ f(0) = 1 f⁰(x) = (1−x)⁻² f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = 2(1−x)⁻³ f⁰⁰(0) = 2 f⁰⁰⁰(x) = 2×3(1−x)⁻⁴ f⁰⁰⁰(0) = 2×3 f^iv(x) = 2×3×4(1−x)⁻⁵ f^iv(0) = 2×3×4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f⁽ⁿ⁾(x) = 2× · · · ×n(1−x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁿ⁾(0) = n!

P_n(x) =f(0)+

f⁰(0) 1

x+ f⁰⁰(0)

2! x²+

f⁰⁰⁰(0) 3!

x³+ f^iv(0)

4!

x⁴+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

xⁿ

Développements limités Le polynôme de Taylor

Définitions : Soitn un entier. Soitf une fonction définie sur un intervalleIde Ret a∈I.

On suppose quef est(n−1)-fois dérivable sur Iet quef⁽ⁿ⁾(a) existe.

On appelle polynôme de Taylor d’ordren enade f, le polynôme :

P_n(x) =f(a) + f⁰(a)

1! (x−a) + f⁰⁰(a)

2! (x−a)²+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ

On appelle reste de Taylor d’ordren de f ena, la fonctionR_n, définie par :

R_n(x) =f(x)−P_n(x)

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Le polynôme de Taylor

Définitions : Soitn un entier. Soitf une fonction définie sur un intervalleIde Ret a∈I.

On suppose quef est(n−1)-fois dérivable sur Iet quef⁽ⁿ⁾(a) existe.

On appelle polynôme de Taylor d’ordren enade f, le polynôme :

P_n(x) =f(a) + f⁰(a)

1! (x−a) + f⁰⁰(a)

2! (x−a)²+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ

On appelle reste de Taylor d’ordren de f ena, la fonctionR_n, définie par :

R_n(x) =f(x)−P_n(x)

Développements limités Le polynôme de Taylor

Définitions : Soitn un entier. Soitf une fonction définie sur un intervalleIde Ret a∈I.

On suppose quef est(n−1)-fois dérivable sur Iet quef⁽ⁿ⁾(a) existe.

On appelle polynôme de Taylor d’ordrenen ade f, le polynôme :

P_n(x) =f(a) + f⁰(a)

1! (x−a) + f⁰⁰(a)

2! (x−a)²+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ

On appelle reste de Taylor d’ordren de f ena, la fonctionR_n, définie par :

R_n(x) =f(x)−P_n(x)

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Le polynôme de Taylor

Définitions : Soitn un entier. Soitf une fonction définie sur un intervalleIde Ret a∈I.

On suppose quef est(n−1)-fois dérivable sur Iet quef⁽ⁿ⁾(a) existe.

On appelle polynôme de Taylor d’ordrenen ade f, le polynôme :

P_n(x) =f(a) + f⁰(a)

1! (x−a) + f⁰⁰(a)

2! (x−a)²+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ

On appelle reste de Taylor d’ordren de f ena, la fonctionR_n, définie par :

R_n(x) =f(x)−P_n(x)

Développements limités Voisinages

Définition 1 :Soit a∈R, on appellevoisinage deaun intervalle ouvert qui contient a.

On note :V_a un voisinage dea.

Définition 2 :On appelle voisinage pointé dea, un voisinage de aprivé du pointa.

On note V_a^∗ un voisinage pointé dea. On a : V_a^∗=V_a\{a}.

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Voisinages

Définition 1 :Soit a∈R, on appellevoisinage deaun intervalle ouvert qui contient a.

On note :V_a un voisinage dea.

Définition 2 :On appelle voisinage pointé dea, un voisinage de aprivé du pointa.

On note V_a^∗ un voisinage pointé dea. On a : V_a^∗=V_a\{a}.

Développements limités Voisinages

Définition 1 :Soit a∈R, on appellevoisinage deaun intervalle ouvert qui contient a.

On note :V_a un voisinage dea.

Définition 2 :On appelle voisinage pointé dea, un voisinage de aprivé du pointa.

On note V_a^∗ un voisinage pointé dea. On a : V_a^∗=V_a\{a}.

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Voisinages

Définition 1 :Soit a∈R, on appellevoisinage deaun intervalle ouvert qui contient a.

On note :V_a un voisinage dea.

Définition 2 :On appelle voisinage pointé dea, un voisinage de aprivé du pointa.

On note V_a^∗ un voisinage pointé dea.

On a : V_a^∗=V_a\{a}.

Développements limités Voisinages

Définition 1 :Soit a∈R, on appellevoisinage deaun intervalle ouvert qui contient a.

On note :V_a un voisinage dea.

Définition 2 :On appelle voisinage pointé dea, un voisinage de aprivé du pointa.

On note V_a^∗ un voisinage pointé dea. On a : V_a^∗=V_a\{a}.

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Fonctions négligeables

Définition :Soit f etg deux fonctions définies sur un voisinage pointé dea, a∈R.

On dit quef est négligeable devantgsi :

∀ϵ >0, ∀x∈V_a^∗ : |f(x)| ≤ϵ|g(x)|

On note :f(x) =◦(g)

Sig ne s’annule pas surV_a^∗ :

f(x) =◦(g) ⇔ _xlim_→a f(x) g(x) =0

Développements limités Fonctions négligeables

Définition :Soit f etg deux fonctions définies sur un voisinage pointé dea, a∈R.

On dit quef est négligeable devantgsi :

∀ϵ >0, ∀x∈V_a^∗ : |f(x)| ≤ϵ|g(x)| On note :f(x) =◦(g)

Sig ne s’annule pas surV_a^∗ :

f(x) =◦(g) ⇔ _xlim_→a f(x) g(x) =0

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Fonctions négligeables

Définition :Soit f etg deux fonctions définies sur un voisinage pointé dea, a∈R.

On dit quef est négligeable devantgsi :

∀ϵ >0, ∀x∈V_a^∗ : |f(x)| ≤ϵ|g(x)| On note :f(x) =◦(g)

Sig ne s’annule pas surV_a^∗ :

f(x) =◦(g) ⇔ _xlim_→a f(x) g(x) =0

Développements limités Développements limités

Définition :Soit n∈N. Soitf une fonction définie sur un voisinage pointé dea∈R.

On dit quef admet un développement limité d’ordre nen a, s’il existe un polynômeP_n, de degrén, tel que le reste : R_n(x) =f(x)−P_n(x)soit négligeable devant(x−a)ⁿ.

R_n(x) =f(x)−P_n(x) =◦^€(x−a)^nŠ

Remarque : Si on pose :x=a+h etg(h) =f(a+h)

f(x) =P_n(x) +◦^€(x−a)^nŠ ⇔ g(h) =f(a+h) =P_n(a+h) +◦(h)ⁿ L’étude des développements limités en 0 est suffisante

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Développements limités

Définition :Soit n∈N. Soitf une fonction définie sur un voisinage pointé dea∈R.

On dit quef admet un développement limité d’ordre nen a, s’il existe un polynômeP_n, de degrén, tel que le reste : R_n(x) =f(x)−P_n(x)soit négligeable devant(x−a)ⁿ.

R_n(x) =f(x)−P_n(x) =◦^€(x−a)^nŠ

Remarque : Si on pose :x=a+h etg(h) =f(a+h)

f(x) =P_n(x) +◦^€(x−a)^nŠ ⇔ g(h) =f(a+h) =P_n(a+h) +◦(h)ⁿ L’étude des développements limités en 0 est suffisante

Développements limités Développements limités

Définition :Soit n∈N. Soitf une fonction définie sur un voisinage pointé dea∈R.

On dit quef admet un développement limité d’ordre nen a, s’il existe un polynômeP_n, de degrén, tel que le reste : R_n(x) =f(x)−P_n(x)soit négligeable devant(x−a)ⁿ.

R_n(x) =f(x)−P_n(x) =◦^€(x−a)^nŠ

Remarque : Si on pose :x=a+h etg(h) =f(a+h)

f(x) =P_n(x) +◦^€(x−a)^nŠ ⇔ g(h) =f(a+h) =P_n(a+h) +◦(h)ⁿ L’étude des développements limités en 0 est suffisante

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Développements limités

Définition :Soit n∈N. Soitf une fonction définie sur un voisinage pointé dea∈R.

On dit quef admet un développement limité d’ordre nen a, s’il existe un polynômeP_n, de degrén, tel que le reste : R_n(x) =f(x)−P_n(x)soit négligeable devant(x−a)ⁿ.

R_n(x) =f(x)−P_n(x) =◦^€(x−a)^nŠ

Remarque : Si on pose :x=a+h etg(h) =f(a+h)

f(x) =P_n(x) +◦^€(x−a)^nŠ ⇔ g(h) =f(a+h) =P_n(a+h) +◦(h)ⁿ

L’étude des développements limités en 0 est suffisante

Développements limités Développements limités

Définition :Soit n∈N. Soitf une fonction définie sur un voisinage pointé dea∈R.

On dit quef admet un développement limité d’ordre nen a, s’il existe un polynômeP_n, de degrén, tel que le reste : R_n(x) =f(x)−P_n(x)soit négligeable devant(x−a)ⁿ.

R_n(x) =f(x)−P_n(x) =◦^€(x−a)^nŠ

Remarque : Si on pose :x=a+h etg(h) =f(a+h)

f(x) =P_n(x) +◦^€(x−a)^nŠ ⇔ g(h) =f(a+h) =P_n(a+h) +◦(h)ⁿ L’étude des développements limités en 0 est suffisante

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Unicité

Proposition : Si une fonctionf, définie sur un voisinage pointé de 0, admet un développement limité d’ordren en 0, ce développement est unique.

Supposons :f(x) =P_n(x) +◦(xⁿ) =Q_n(x) +◦(xⁿ) Alors : lim

x→0

P_n(x)−Q_n(x) xⁿ

=0

∀ϵ >0,∃α >0 |x| ≤α, |P_n(x)−Q_n(x)| ≤ϵ|xⁿ|

⇒ P_n(0)−Q_n(0) =0

Par récurrence, tous les coefficients deP_n−Q_nsont nuls etP_n=Q_n.

Développements limités Unicité

Proposition : Si une fonctionf, définie sur un voisinage pointé de 0, admet un développement limité d’ordren en 0, ce développement est unique.

Supposons :f(x) =P_n(x) +◦(xⁿ) =Q_n(x) +◦(xⁿ)

Alors : lim

x→0

P_n(x)−Q_n(x) xⁿ

=0

∀ϵ >0,∃α >0 |x| ≤α, |P_n(x)−Q_n(x)| ≤ϵ|xⁿ|

⇒ P_n(0)−Q_n(0) =0

Par récurrence, tous les coefficients deP_n−Q_nsont nuls etP_n=Q_n.

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Unicité

Proposition : Si une fonctionf, définie sur un voisinage pointé de 0, admet un développement limité d’ordren en 0, ce développement est unique.

Supposons :f(x) =P_n(x) +◦(xⁿ) =Q_n(x) +◦(xⁿ) Alors : lim

x→0

P_n(x)−Q_n(x) xⁿ

=0

∀ϵ >0,∃α >0 |x| ≤α, |P_n(x)−Q_n(x)| ≤ϵ|xⁿ|

⇒ P_n(0)−Q_n(0) =0

Par récurrence, tous les coefficients deP_n−Q_nsont nuls etP_n=Q_n.

Développements limités Unicité

Proposition : Si une fonctionf, définie sur un voisinage pointé de 0, admet un développement limité d’ordren en 0, ce développement est unique.

Supposons :f(x) =P_n(x) +◦(xⁿ) =Q_n(x) +◦(xⁿ) Alors : lim

x→0

P_n(x)−Q_n(x) xⁿ

=0

∀ϵ >0,∃α >0 |x| ≤α, |P_n(x)−Q_n(x)| ≤ϵ|xⁿ|

⇒ P_n(0)−Q_n(0) =0 Par récurrence, tous les coefficients deP_n−Q_nsont nuls etP_n=Q_n.

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Unicité

Proposition : Si une fonctionf, définie sur un voisinage pointé de 0, admet un développement limité d’ordren en 0, ce développement est unique.

Supposons :f(x) =P_n(x) +◦(xⁿ) =Q_n(x) +◦(xⁿ) Alors : lim

x→0

P_n(x)−Q_n(x) xⁿ

=0

∀ϵ >0,∃α >0 |x| ≤α, |P_n(x)−Q_n(x)| ≤ϵ|xⁿ| ⇒ P_n(0)−Q_n(0) =0

Par récurrence, tous les coefficients deP_n−Q_nsont nuls etP_n=Q_n.

Développements limités Unicité

Proposition : Si une fonctionf, définie sur un voisinage pointé de 0, admet un développement limité d’ordren en 0, ce développement est unique.

Supposons :f(x) =P_n(x) +◦(xⁿ) =Q_n(x) +◦(xⁿ) Alors : lim

x→0

P_n(x)−Q_n(x) xⁿ

=0

∀ϵ >0,∃α >0 |x| ≤α, |P_n(x)−Q_n(x)| ≤ϵ|xⁿ| ⇒ P_n(0)−Q_n(0) =0 Par récurrence, tous les coefficients deP_n−Q_nsont nuls etP_n=Q_n.

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

Théorème :Soit nun entier etV

0 un voisinage de 0.

Soit f une fonctionn−1-fois dérivable sur V

0 dont la dérivée n-ième existe en 0.

Le reste de Taylor de f en 0 :

R_n(x) =f(x)−^€ f⁰(0)

1! x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

x^nŠ

est négligeable devantxⁿ

:

R_n(x) =◦(xⁿ)

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

Théorème :Soit nun entier etV

0 un voisinage de 0.

Soit f une fonctionn−1-fois dérivable sur V

0 dont la dérivée n-ième existe en 0.

Le reste de Taylor de f en 0 :

R_n(x) =f(x)−^€ f⁰(0)

1! x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

x^nŠ

est négligeable devantxⁿ

:

R_n(x) =◦(xⁿ)

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

Théorème :Soit nun entier etV

0 un voisinage de 0.

Soit f une fonctionn−1-fois dérivable sur V

0 dont la dérivée n-ième existe en 0.

Le reste de Taylor de f en 0 :

R_n(x) =f(x)−^€ f⁰(0)

1! x+

f⁰⁰(0) 2!

x²+· · ·+

f⁽ⁿ⁾(0) n!

x^nŠ

est négligeable devantxⁿ:

R_n(x) =◦(xⁿ)

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

Par récurrence :

1. Pour n=1 :

xlim→0

f(x)−f(0)−xf⁰(0)

x =0

Soit :

f(x)−f(0)−xf⁰(0) =R

1(x) =◦(x)

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

Rappel

Pour h∈R, on pose :







α(h) = f(x

0+h)−f(x

0)

h −f⁰(x

0) α(0) = 0

f(x

0+h) =f(x

0) +hf⁰(x

0) +hα(h)

Donc : sif est dérivable en x

0, il existe une fonctionα, continue en 0, telle que :

f(x

0+h) = f(x

0) +hf⁰(x

0) +hα(h) Et : lim

h→0

α(h) = 0

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

Par récurrence : 1. Pour n=1 :

xlim→0

f(x)−f(0)−xf⁰(0)

x =0

Soit :

f(x)−f(0)−xf⁰(0) =R

1(x) =◦(x)

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

Par récurrence : 1. Pour n=1 :

xlim→0

f(x)−f(0)−xf⁰(0)

x =0

Soit :

f(x)−f(0)−xf⁰(0) =R

1(x) =◦(x)

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

2. Supposons que le résultat est vrai à l’ordren−1 (H.R.)

Sif vérifie les hypothèses à l’ordre n

Alorsf⁰ vérifie les hypothèses à l’ordre n−1 et le

polynôme de Taylor def⁰est la dérivée du polynôme de Taylor def :

€f(0) +^f

0(0) 1! x+^f

00(0)

2! x²+· · ·+^f

(n)(0) n! xⁿŠ₀

=f⁰(0) +^(f

0)⁰(0) 1! x+^(f

0)⁰⁰(0)

2! x²+· · ·+^(f

0)⁽ⁿ⁻¹⁾(0) (n−1)! xⁿ⁻¹

H.R. :

R_n⁰(x) =f⁰(x)−P⁰_n(x) =◦(xⁿ⁻¹)

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Développements limités Fonctionsn-fois dérivables

2. Supposons que le résultat est vrai à l’ordren−1 (H.R.)

Sif vérifie les hypothèses à l’ordre n

Alorsf⁰ vérifie les hypothèses à l’ordre n−1 et le

polynôme de Taylor def⁰est la dérivée du polynôme de Taylor def :

€f(0) +^f

0(0) 1! x+^f

00(0)

2! x²+· · ·+^f

(n)(0) n! xⁿŠ₀

=f⁰(0) +^(f

0)⁰(0) 1! x+^(f

0)⁰⁰(0)

2! x²+· · ·+^(f

0)⁽ⁿ⁻¹⁾(0) (n−1)! xⁿ⁻¹

H.R. :

R_n⁰(x) =f⁰(x)−P⁰_n(x) =◦(xⁿ⁻¹)

R_n

−1(x) =◦(xⁿ⁻¹)