I. Négligeabilité
Remarque.
Dans toute cette section,x0désigne un réel ou bien−∞ou+∞.
Définition 1.
1. Six0∈R, unvoisinagedex0est un ensemble contenant un intervalle de la forme]x0−α;x0+α[, oùα >0. 2. Unvoisinagede+∞est un ensemble contenant un intervalle de la forme]a; +∞[, oùa∈R.
3. Unvoisinagede−∞est un ensemble contenant un intervalle de la forme]− ∞;a[, oùa∈R.
Remarque.
Les intervalles intervenant dans la définition précédente sont eux-mêmes des voisinages.
Définition 2.
Soitf etgdeux fonctions définies dans un voisinage dex0, sauf éventuellement enx0. On dit quef estnégligeabledevantgenx0, et on notef(x) =
x→x0
◦(g(x)), ou encoref =
x0 ◦(g), s’il existe une fonctionε définie sur un voisinageV dex0, telle que :
∀x∈V, f(x) =g(x)ε(x), et lim
x→x0
ε(x) = 0.
Théorème 1. caractérisation pratique de la négligeabilité On suppose quegne s’annule pas dans un voisinage dex0. Alors, f =
x0
◦(g) ⇐⇒ lim
x→x0
f(x) g(x) = 0.
Théorème 2. règles de calcul
Soitf,g,h,kdes fonctions. Soitx0un point ou une borne (éventuellement infinie) de leur ensemble de définition.
Soitλ,a,bet`des réels.
1. Si f(x) =
x→x0
◦(g(x)) et g(x) =
x→x0
◦(h(x)), alors f(x) =
x→x0
◦(h(x)) (transitivité) 2. Si f(x) =
x→x0
◦(g(x)) et si λ6= 0, alors f(x) =
x→x0
◦(λg(x)) (produit par un réel) 3. Si f(x) =
x→x0
◦(h(x)), g(x) =
x→x0
◦(h(x)), alors af(x) +bg(x) =
x→x0
◦(h(x)) (combinaison linéaire) 4. Si f(x) =
x→x0
◦(g(x)), alors f(x)h(x) =
x→x0
◦(g(x)h(x)) (produit) 5. Si f(x) =
x→x0
◦(h(x)) et g(x) =
x→x0
◦(k(x)), alors f(x)g(x) =
x→x0
◦(h(x)k(x)) (produit) 6. Si f(x) =
x→x0
◦(g(x)), etn∈N∗, alors (f(x))n =
x→x0
◦((g(x))n) (puissance) 7. Si f(x) =
x→x0
◦(g(x)), alors 1 g(x) =
x→x0
◦ 1
f(x)
(inverse) 8. Si f(x) =
x→x0
◦(g(x)), alors |f(x)| =
x→x0
◦(|g(x)|) (valeur absolue) 9. Si f(x) =
x→x0
◦(g(x)) et si lim
x→x0
g(x) =`∈R, alors lim
x→x0
f(x) = 0 (limite)
Exemple 1.
◦ x2
+◦ x3
=◦ x2
, ◦ x2
∗ ◦ x3
=◦ x5
, x2∗ ◦ x3
=◦ x5
Théorème 3. croissances comparées
1. Soit0< α < β. Soitγ >0. On a, en+∞: a. ln(x) =
x→+∞◦(xα) b. xα =
x→+∞◦(xβ) c. xβ =
x→+∞◦(eγx) 2. Soit0< α < β. On a, en0:
a. ln(x) =
x→0◦ 1
xα
b. xβ =
x→0◦(xα)
II. Equivalence
Remarque.
Dans toute cette section,x0désigne un réel ou bien−∞ou+∞.
Définition 3.
Soitf etgdeux fonctions définies dans un voisinage dex0, sauf éventuellement enx0. On dit quef estéquivalenteàgenx0, et on notef(x) ∼
x→x0
g(x), ou encoref ∼
x0 g, s’il existe une fonctionεdéfinie sur un voisinageV dex0, telle que :
∀x∈V, f(x) =g(x)ε(x), et lim
x→x0
ε(x) = 1.
Théorème 4. caractérisation pratique de l’équivalence On suppose quegne s’annule pas dans un voisinage dex0. Alors, f ∼
x0g ⇐⇒ lim
x→x0
f(x) g(x) = 1.
Théorème 5.
f ∼
x0g ⇐⇒ f =
x0g+◦(g)
Théorème 6. règles de calcul
Soitf,g,h,kdes fonctions. Soitx0un point ou une borne (éventuellement infinie) de leur ensemble de définition.
Soitaet`des réels.
1. Si f(x) ∼
x→x0g(x), alors g(x) ∼
x→x0f(x) (réflexivité) 2. Si f(x) ∼
x→x0
g(x) et g(x) ∼
x→x0
h(x), alors f(x) ∼
x→x0
h(x) (transitivité) 3. Si f(x) ∼
x→x0
h(x) et g(x) ∼
x→x0
k(x), alors f(x)g(x) ∼
x→x0
h(x)k(x) (produit)
4. Si f(x) ∼
x→x0
h(x) et g(x) ∼
x→x0
k(x), alors f(x) g(x) ∼
x→x0
h(x)
k(x) (quotient)
Remarque.
La somme et la composition ne sont pas compatibles avec les équivalences.
1. 1 +x∼1et1−x∼1, mais1 +x−(1−x) = 2n’est pas équivalent à1−1 = 0.
2. x2+x∼x2maisex2+xn’est pas équivalent àex2, puisque le quotientextend vers l’infini (donc pas vers 1 !)
Théorème 7.
Soitf etgdeux fonctions équivalentes enx0. Alors lim
x→x0
f(x)existe si, et seulement si, lim
x→x0
g(x)existe.
Dans ce cas, ces limites sont égales.
Théorème 8. équivalents usuels 1. ex−1 ∼
x→0x 2. ln(1 +x) ∼
x→0x 3. (1 +x)α−1 ∼
x→0αx, pourα∈Rfixé.
Théorème 9.
Un polynôme est équivalent en+∞, comme en−∞, à son terme de plus haut degré, et en0, à son terme de plus bas degré.
Exemple 2.
lim
x→0+
1 + 1
x x
=e.
III. Développements limités
Définition 4.
Soitf une fonction définie sur un voisinage dex0, etn∈N.
On dit quefadmet undéveloppement limité(en abrégé DL) d’ordrenenx0s’il existe des réelsa0,a1,...,antels que : f(x) =
x→x0
a0+a1(x−x0) +an(x−x0)n+◦((x−x0)n)
Remarque.
On dit que le polynômea0+a1(x−x0) +an(x−x0)nest la partie principale du DL, tandis que◦((x−x0)n)est le reste du DL.
Théorème 10. formule de Taylor-Young
1. Sif est de classeC1sur un intervalle contenantx0, alorsf admet un DL d’ordre1enx0: f(x) =
x→x0f(x0) + (x−x0)f0(x0) +◦(x−x0)
2. Sif est de classeC2sur un intervalle contenantx0, alorsf admet un DL d’ordre2enx0: f(x) =
x→x0
f(x0) + (x−x0)f0(x0) +(x−x0)2
2 f00(x0) +◦((x−x0)2)
Théorème 11. DL usuels 1. ex =
x→01 +x+x2
2 +◦(x2) 2. ln(1 +x) =
x→0x−x2
2 +◦(x2) 3. (1 +x)α =
x→01 +αx+α(α−1)
2 x2+◦(x2), pourα∈Rfixé.
Exemple 3.
1
1 +x, 1 1−x, √
1 +x
Exemple 4.
DL2 en3defdéfinie par f(x) = 1
4−x = 1 + (x−3) + (x−3)2+◦((x−3)2).
Exemple 5.
ln(x) = ln(3) +x−3
3 −(x−3)2
18 +◦ (x−3)2
Théorème 12.
f est équivalente au premier terme non nul de son DL.
Théorème 13.
1. Sif admet un DL d’ordrenenx0, alorsf possède un DL d’ordrekenx0, pour tout entierk≤n.
Théorème 14.
1. Sif etgadmettent un DL d’ordrenenx0, alorsaf+bgpossède un DL d’ordrenenx0, pour(a, b)∈R2. 2. Sif etgadmettent un DL d’ordrenenx0, alorsf gpossède un DL d’ordrenenx0.
Remarque.
Les DL de quotients et de composées ne sont pas des attendus du programme de ECE2.
Exemple 6.
f(x) = ln(1 +x)−x, f(x) = ex
1 +x, f(x) =x√
1 +x, f(x) = ln(1 +x)
ex , f(x) =e
√1+x−1
Exemple 7.
x→0lim 1
x− 1
ln(1 +x)
, étude de la convergence de la série de terme général un= ln
1 + 1 n
− 1 n.
Théorème 15. étude locale d’une fonction
Théorème 16. étude locale d’une fonction
Soitf une fonction possédant un DL d’ordre1enx0 f(x) =
x→x0
a0+a1(x−x0) +◦(x−x0).
Alors,f est dérivable enx0, et f0(x0) =a1, et l’équation de la tangente àCf enx0est y=a0+a1(x−x0).
Théorème 17. étude locale d’une fonction
Soitf une fonction possédant un DL d’ordre2enx0 f(x) =
x→x0
a0+a1(x−x0) +a2(x−x0)2+◦((x−x0)2). Alors : 1. Sia2>0(resp.<0), alorsCf est au-dessus (resp. en-dessous) de sa tangente enx0.
2. Sia2= 0, alors on ne peut pas conclure.
Exemple 8.
expen0, f(x) =e2x√
1 +x en0
Exemple 9.
f(x) =e−x+xe 1
x =
x→+∞x+ 1 +◦(1) (asymptote oblique)
Exemple 10.
f(x) =
ln(1 +x)−x
x2 six6= 0
−1
2 six= 0
