Formulaire développements limités en 0
Tous les développements limités qui suivent s’entendent pour x au voisinage de 0. Les deux premiers peuvent se démontrer directement.
1
1−x = 1 +x+x2+x3+· · ·+xn+o(xn) =
n
X
i=0
xi+o(xn), 1
1 +x = 1−x+x2−x3+· · ·+ (−1)nxn+o(xn) =
n
X
i=0
(−1)ixi+o(xn).
On en déduit par intégration de développements limités : ln(1 +x) =x−x2
2 − x3
3 +· · ·+ (−1)n+1xn
n +o(xn) =
n
X
i=1
(−1)i+1xi
i +o(xn).
Enfin, les quatre développements limités suivants découlent de la formule de Taylor- Young (pour le premier, α∈R) :
(1 +x)α= 1 +αx+α(α−1)x2
2 +· · ·+α(α−1)· · ·(α−n+ 1)xn
n! +o(xn)
=
n
X
i=0 i−1
Y
j=0
(α−j)xi
i! +o(xn), exp(x) = 1 +x+x2
2 +x3
6 +· · ·+xn
n! +o(xn)
=
n
X
i=0
xi
i! +o(xn), cos(x) = 1− x2
2 + x4
24+· · ·+ (−1)n x2n
(2n)!+o(x2n+1)
=
n
X
i=0
(−1)i x2i
(2i)!+o(x2n+1), sin(x) =x−x3
6 + x5
120+· · ·+ (−1)n x2n+1
(2n+ 1)! +o(x2n+2)
=
n
X
i=0
(−1)i x2i+1
(2i+ 1)! +o(x2n+2).
