Développements limités en 0 ex = 1 +

Développements limités en 0 e^x= 1 + x

1! +x² 2! +x³

3! +· · ·+xⁿ

n! +xⁿε(x) cos(x) = 1−x²

2! + x⁴

4! +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)!+x²ⁿ⁺¹ε(x) sin(x) =x− x³

3! +x⁵

5! +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +x²ⁿ⁺²ε(x) 1

1−x = 1 +x+x²+x³+· · ·+xⁿ+xⁿε(x) 1

1 +x = 1−x+x²−x³+· · ·+ (−1)ⁿxⁿ+xⁿε(x) ln(1 +x) =x− x²

2 +x³ 3 −x⁴

4 +· · ·+ (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n +xⁿε(x) (1 +x)^α= 1 +αx+α(α−1)

2! x²+α(α−1)(α−2)

3! x³+· · ·+α(α−1)(α−2). . .(α−n+ 1)

n! xⁿ+xⁿε(x) (α∈R) tan(x) =x+ x³

3 + 2

15x⁵+x⁶ε(x) Quelques dérivées usuelles

Fonction Continuité Dérivabilité Dérivée

xⁿ n∈Z R^∗ si n <0,Rsinon R^∗ si n <0,Rsinon nxⁿ⁻¹ x^α α∈R R+ siα >0,R^∗₊ sinon R^∗₊ αx^α−1

e^x R R e^x

ln(x) R^∗₊ R^∗_{+ x}¹

cos(x) R R −sin(x)

sin(x) R R cos(x)

tan(x) R− {^π₂ +kπ, k∈Z} R− {^π₂ +kπ, k∈Z} 1 + tan²(x) = _cos¹2(x)

arcsin(x) [−1,1] ]−1,1[ ^{√ 1}

1−x²

arccos(x) [−1,1] ]−1,1[ ^√−1

1−x²

arctan(x) R R _1+x¹ 2

(u(x))^α α∈R à déterminer à déterminer α·u⁰(x)·(u(x))^α−1 ln(u(x)) à déterminer à déterminer ^u_u(x)^0(x)

(g◦f)(x) à déterminer à déterminer g⁰(f(x))f⁰(x) f⁻¹(x) à déterminer à déterminer _f0(f−1¹ _(x)) Quelques limites

x→+∞lim x^a

(lnx)^b = +∞ sia >0 etb >0 lim

x→+∞

e^bx

x^a = +∞ si a >0 etb >0

x→0lim⁺x^a(lnx)^b = 0 sia >0etb >0 lim

x→+∞x^ae^−bx= 0si a >0 etb >0

x→0lim sin(x)

x = 1 lim

x→0

ln(1 +x)

x = 1

Quelques formules de trigonométrie cos²(x) + sin²(x) = 1

cos(2x) = cos²(x)−sin²(x) = 2 cos²(x)−1 = 1−2 sin²(x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

cos²(x) = ^1+cos(2x)₂ sin²(x) = ^1−cos(2x)₂

cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b) sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)