Développements limités

Développements limités

Cours de É. Bouchet ECS1 2 juin 2021

Table des matières

1 Généralités 2

1.1 Dénition . . . 2 1.2 Propriétés . . . 2

2 Formule de Taylor-Young 3

2.1 Dérivabilité et développements limités . . . 3 2.2 Développements limités usuels en 0 . . . 4 2.3 Exemples . . . 6

3 Quelques exemples d'utilisation 7

3.1 Recherche d'un équivalent et étude d'une limite . . . 7 3.2 Étude d'une série . . . 7

1 Généralités

1.1 Dénition

Soient n ∈ N et x₀ ∈ R. Soit f une fonction à valeurs réelles dénie au voisinage de x₀. On dit que f admet un développement limité d'ordren enx0 lorsqu'il existe (a0, a1,· · · , an)∈Rⁿ⁺¹ tels que :

f(x) =_x0 a₀+a₁(x−x₀) +· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ).

Le polynômea₀+a₁(x−x₀) +· · ·+a_n(x−x₀)ⁿest appelé la partie régulière du développement limité.

Dénition (Développement limité).

Exemple 1. On sait quesin(x)∼₀ x, donc sin(x) =₀ x+o(x), et sinus admet un développement limité d'ordre 1en 0(a0 = 0,a1= 1). Sa partie régulière estx.

1.2 Propriétés

Soient n ∈ N, x₀ ∈ R et f une fonction à valeurs réelles dénie au voisinage de x₀. Si f admet un développement limité à l'ordre nen x₀, alors ce développement est unique.

Proposition (Unicité du développement limité).

Démonstration. (démonstration à connaître) Supposons qu'il existe deux développements limités à l'ordre nen x0 : f(x) =_x0 a₀+a₁(x−x₀) +· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ) =_x0 b₀+b₁(x−x₀) +· · ·+b_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ). On raisonne par l'absurde et suppose que(a₀, a₁, . . . , a_n)6= (b₀, b₁, . . . , b_n). Soitp le plus petit entier de[[0, n]]tel que a_p 6=b_p. Alors

(ap−bp)(x−x0)^p+· · ·+ (an−bn)(x−x0)ⁿ=x0 o((x−x0)ⁿ), ce qui donne, en divisant par(x−x0)^p 6= 0,

(bp−ap) =x0 (ap+1−bp+1)(x−x0) +· · ·+ (an−bn)(x−x0)^n−p+o (x−x0)^n−p

7−→x→x₀ 0.

Donca_p =b_p, absurde. D'où le résultat.

Soient n ∈ N, x0 ∈ R, α ∈ R et f et g deux fonctions à valeurs réelles dénies au voisinage de x0. On suppose que f etg admettent chacune un développement limité d'ordre nen x0. Alorsf +αg admet un développement limité d'ordre nenx₀.

De plus, la partie régulière du développement limité de f +αg est égale à la partie régulière du dévelop- pement limité de f plusα fois la partie régulière du développement limité deg.

Proposition (Somme de développements limités).

Démonstration. On suppose que

f(x) =x0 a0+a1(x−x0) +· · ·+an(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ)

et

g(x) =_x0 b₀+b₁(x−x₀) +· · ·+b_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ). Alors, par combinaison linéaire de ces égalités,

(f+αg)(x) =_x0 a₀+αb₀+ (a₁+αb₁)(x−x₀) +· · ·+ (a_n+αb_n)(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ), d'où l'existence du développement limité et l'expression annoncée.

Soientn∈N,x0∈Retf etgdeux fonctions à valeurs réelles dénies au voisinage dex0. On suppose que f et g admettent chacune un développement limité d'ordre n en x₀. Alors f g admet un développement limité d'ordren enx₀.

La partie régulière du développement limité de f g est obtenue en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal àn dans le produit des parties régulières def etg.

Proposition (Produit de développements limités).

Démonstration. (démonstration à connaître) On suppose que

f(x) =x0 a0+a1(x−x0) +· · ·+an(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ) et

g(x) =_x0 b₀+b₁(x−x₀) +· · ·+b_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ). Alors, par produit de ces égalités,

(f g)(x) =x0

n

X

i=0

ai(x−x0)ⁱ+o((x−x0)ⁿ)

!



n

X

j=0

bj(x−x0)^j+o((x−x0)ⁿ)





=x0

n

X

i=0

ai(x−x0)ⁱ

!



n

X

j=0

bj(x−x0)^j



+o((x−x0)ⁿ) +o((x−x0)ⁿ) +o (x−x0)²ⁿ

=_x0

n

X

k=0

X

i+j=k

a_ib_j(x−x₀)^k+o((x−x₀)ⁿ), d'où l'existence du développement limité et l'expression annoncée.

2 Formule de Taylor-Young

2.1 Dérivabilité et développements limités

Soit x0 ∈R, et f une fonction à valeurs réelles dénie enx0 et au voisinage de ce point. La fonction f est continue en x0 si et seulement sif admet un développement limité d'ordre 0 en x0. On a alors :

f(x) =x0 f(x0) +o(1).

Proposition (Existence d'un développement limité d'ordre 0).

Démonstration. (démonstration à connaître) On commence par remarquer que : f est continue enx0 ⇐⇒ lim

x→x0

f(x) =f(x0)⇐⇒f(x) =x0 f(x0) +o(1).

Donc si f est continue en x₀, elle admet bien un développement limité d'ordre 0 en ce point. Réciproquement, s'il existea0 ∈R tel que f(x) =x0 a0+o(1), alors limx→x₀f(x) =a0. Donca0=f(x0) etf est continue enx0.

Soit x₀ ∈R etf une fonction à valeurs réelles dénie enx₀ et au voisinage de ce point. La fonction f est dérivable en x₀ si et seulement sif admet un développement limité d'ordre 1 en x₀. On a alors :

f(x) =_x0 f(x₀) +f⁰(x₀)(x−x₀) +o((x−x₀)).

Proposition (Existence d'un développement limité d'ordre 1).

Démonstration. On commence par remarquer que : f est dérivable enx0⇐⇒ lim

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0

=f⁰(x0)∈R⇐⇒f(x) =x0 f(x0) +f⁰(x0)(x−x0) +o((x−x0)).

Donc si f est dérivable en x0, elle admet bien un développement limité d'ordre 1 en ce point. Réciproquement, s'il existe (a0, a1)∈R² tels que f(x) =x0 a0+a1(x−x0) +o((x−x0)), alorslimx→x0f(x) =a0, donc a0 =f(x0). D'où

f(x)−f(x0)

x−x0 =x0 a1+o(1), ce qui donnelimx→x₀ f(x)−f(x0)

x−x0 =a1∈R. Doncf est dérivable en x0 etf⁰(x0) =a1. D'où le résultat.

Soit n∈N. Si f est une fonction de classe Cⁿ sur un intervalle I et x₀ ∈I, alors f admet pour dévelop- pement limité d'ordrenen x0

f(x) =_x0

n

X

k=0

(x−x0)^k

k! f^(k)(x₀) +o((x−x₀)ⁿ). Théorème (Formule de Taylor-Young).

Remarque. On peut également écriref(x₀+h) =₀

n

X

k=0

h^k

k!f^(k)(x₀) +o(hⁿ).

Remarque. En pratique, la plupart des développements limités sont eectués au voisinage de 0. On pourra donc noter=à la place de=₀ quand on manipule des fonctions.

2.2 Développements limités usuels en 0

Toutes les formules qui suivent se montrent avec la formule de Taylor-Young, en utilisant les dérivées connues des fonctions usuelles.

exp(x) = 1 +x+ x² 2 + x³

3! +· · ·+xⁿ

n! +o(xⁿ) =

n

X

k=0

x^k

k! +o(xⁿ).

Formule (Développement limité de la fonction exponentielle).

Démonstration. Soit n∈ N, la fonction exponentielle est de classe Cⁿ surR et∀k ∈[[0, n]],exp^(k) = exp. D'après la formule de Taylor-Young, l'exponentielle admet donc pour développement limité à l'ordrenen 0:

exp(x) =

n

X

k=0

x^k

k! exp(0) +o(xⁿ) =

n

X

k=0

x^k

k! +o(xⁿ).

ln(1 +x) =x−x² 2 +x³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n +o(xⁿ) =

n

X

k=1

(−1)^k−1x^k

k +o(xⁿ).

Formule (Développement limité de la fonction logarithme).

Démonstration. Soit n ∈N, la fonctionf :x → ln(1 +x) est de classe Cⁿ sur ]−1,+∞[ et d'après les formules de dérivées usuelles, ∀k∈[[1, n]], ∀x ∈]−1,+∞[, f^(k)(x) = ⁽⁻¹⁾_(1+x)^{k−1(k−1)!}_k . D'après la formule de Taylor-Young,f admet donc pour développement limité à l'ordrenen 0 :

ln(1 +x) = ln(1 + 0) +

n

X

k=1

x^k k!

(−1)^k−1(k−1)!

(1 + 0)^k +o(xⁿ) =

n

X

k=1

(−1)^k−1x^k

k +o(xⁿ).

1

1−x = 1 +x+x²+· · ·+xⁿ+o(xⁿ) =

n

X

k=0

x^k+o(xⁿ),

1

1 +x = 1−x+x²+· · ·+ (−1)ⁿxⁿ+o(xⁿ) =

n

X

k=0

(−1)^kx^k+o(xⁿ).

Formule (Développement limité de la fonction inverse).

Pour tout réel α,

(1 +x)^α= 1 +αx

1!+α(α−1)x²

2! +· · ·+α(α−1)· · ·(α−n+ 1)xⁿ

n! +o(xⁿ).

Formule (Développement limité des fonctions puissances).

sin(x) =x−x³ 3! + x⁵

5! +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +o(x²ⁿ⁺¹) =

n

X

k=0

(−1)^k x^2k+1

(2k+ 1)! +o(x²ⁿ⁺¹),

cos(x) = 1−x² 2! +x⁴

4! +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)!+o(x²ⁿ) =

n

X

k=0

(−1)^k x^2k

(2k)!+o(x²ⁿ).

Formule (Développement limité des fonctions trigonométriques).

Remarque. Les exposants 2k et2k+ 1 ont été introduits pour permettre d'avoir des formules simples, mais il faut garder à l'esprit que l'ordre d'un développement limité correspond à la puissance qui apparaît dans leo.

2.3 Exemples

Exemple 2. Déterminer un développement limité d'ordre2en 0 dex7→cosx. On trouve avec les formules précédentescos(x) = 1−^x₂² +o(x²).

Exemple 3. Déterminer un développement limité d'ordre3en 0 dex7→cosx. On trouve avec les formules précédentescos(x) = 1−^x₂² +o(x³).

Exemple 4. Déterminer un développement limité d'ordre2en 0 dex7→√

1 + 2x−exp(x). On trouve avec les formules précédentes :

exp(x) = 1 +x+x²

2 +o(x²),

√1 + 2x= 1 +1

2(2x) +1 2

−1 2

(2x)²

2 +o((2x)²) = 1 +x−x²

2 +o(x²) d'où par sommation de développements limités,

√

1 + 2x−exp(x) =−x²+o(x²).

Exemple 5. Déterminer un développement limité d'ordre3en 0 dex7→ cos(x) 1 +x . On trouve avec les formules précédentes :

cos(x) = 1−x²

2 +o(x³), 1

1 +x = 1−x+x²−x³+o(x³), d'où par produit de développements limités,

cos(x) 1 +x =

1−x²

2 +o(x³)

1−x+x²−x³+o(x³)

= 1−x+x²−x³−x² 2 +x³

2 −x⁴ 2 +x⁵

2 +o(x³)

= 1−x+x² 2 −x³

2 +o(x³).

Exemple 6. Déterminer un développement limité d'ordre2en 1 def :x7→ expx x .

On utilise la formule de Taylor-Young à l'ordre2, commef est de classe C² sur R^∗.∀x∈R^∗, f⁰(x) = exp(x)x−exp(x)

x² = exp(x)

x² (x−1), f⁰⁰(x) = exp(x)(2−2x+x²)

x³ .

Cela donne : expx

x =1

exp 1

1 + (x−1)exp 1−exp 1

1² +(x−1)²

2 exp(1)1

1³ +o (x−1)²

=e+e

2(x−1)²+o (x−1)² .

3 Quelques exemples d'utilisation

3.1 Recherche d'un équivalent et étude d'une limite Montrer que la fonction f dénie sur ]0,1] par∀x ∈]0,1], f(x) = 2

sin(x) − 2

ln(1 +x) est prolongeable par continuité en0.

On commence par tout mettre au même dénominateur pour y voir plus clair :∀x∈]0,1]

f(x) = 2

sin(x) ln(1 +x)(ln(1 +x)−sin(x)).

Les équivalents usuels donnent le comportement du dénominateur : sin(x) ln(1 +x) ∼₀ x², ils ne permettent par contre pas de gérer directement le numérateur (puisqu'il est interdit de sommer des équivalents). On cherche donc un développement limité en0du numérateur (l'ordre est à déterminer pendant le calcul an d'obtenir au moins un terme non nul).

ln(1 +x)−sin(x) =x−x²

2 −x+o(x²) =−x²

2 +o(x²)∼₀ −x² 2 . On en déduit quef(x)∼₀ −1et donc lim

x→0f(x) =−1∈R. La fonction f est donc prolongeable par continuité en 0.

3.2 Étude d'une série

Quelle est la nature de la série de terme généralun= 1 n −ln

1 + 1

n

? On commence par étudier la fonctionf dénie sur ]−1,+∞[par :

f(x) =x−ln (1 +x).

On cherche un développement limité en 0, pour ensuite prendre x = ¹_n qui sera bien au voisinage de 0. On a que ln (1 +x) =x−^x₂² +o(x²), donc par somme de développements limités :

f(x) = x²

2 +o(x²).

On en déduit

un= 1 2n² +o

1 n²

, doncun∼ _2n¹₂ >0. OrP ₁

n² est une série de Riemann convergente, donc P

un converge également.