E690 ‒ Savant remplissage [*** à la main]
Les cases d'un échiquier de dimensions n x n contiennent des entiers strictement positifs pas nécessairement distincts.Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ou verticaux, constitués de deux cases adjacentes sont toutes différentes. Déterminer en fonction de n la plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier?
Application numérique: donner un exemple du remplissage d'un échiquier 10 x 10.
Solution proposée par Bernard Vignes
Il y a au total 2(n − 1)n dominos horizontaux et verticaux dont les sommes des entiers qu'ils contiennent peuvent être comprises entre 2, à savoir 1 + 1 et 2(n-1)n + 1, à savoir [(n-1)n] + [(n-1)n + 1] ).
Théoriquement la plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur l'échiquier est v = (n − 1)n + 1.
Application numérique n = 10, v = 91
Il est toujours possible de remplir l'échiquier n x n avec des entiers compris entre 1 et v.
1er cas: n pair = 2k
- première ligne : 1, 1, 2, 2, ...k, k. Les sommes des dominos horizontaux sont égales à 2,3,...,2k - deuxième ligne : 2k, 2k + 1, 2k + 1, 2k + 2, 2k + 2,...,3k − 1, 3k − 1, 3k. Les sommes des dominos verticaux sont 2k + 1, 2k + 2, 2k + 3,..., 4k − 1, 4k et celles des dominos horizontaux 4k + 1,4k + 2,.,6k − 1 - la troisième ligne est déterminée de sorte que les sommes des dominos verticaux prennent "le relais" des sommes des dominos horizontaux de la deuxième ligne 6k, 6k + 1,...,8k − 1 et on vérifie que les sommes des dominos horizontaux prennent à leur tour "le relais" des sommes qui viennent d'être calculées. On en déduit le contenu de cette troisième ligne: 4k, 4k, 4k + 1, 4k + 1,...., 5k − 1, 5k − 1 et les sommes des dominos horizontaux sont respectivement 8k, 8k + 1,...,10k − 2.
etc...
2ème cas: n impair = 2k + 1
première ligne :1, 1, 2, 2, ...k, k + 1. Les sommes des dominos horizontaux sont égales à 2,3,...,2k + 1 deuxième ligne : 2k + 1,2k + 2, 2k + 2,...,3k, 3k, 3k + 1, 3k + 1. Les sommes des dominos verticaux sont 2k + 2, 2k + 3, 2k + 43,..., 4k + 1, 4k+ 2 et celles des dominons horizontaux 4k + 3, 4k + 4,...6k +2 etc...on applique la même méthode que dans le 1er cas.
