E690 ‒ Savant remplissage [*** à la main]
Les cases d'un échiquier de dimensions n x n contiennent des entiers strictement positifs pas nécessairement distincts.Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ou verticaux, constitués de deux cases adjacentes sont toutes différentes. Déterminer en fonction de n la plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier?
Application numérique: donner un exemple du remplissage d'un échiquier 10 x 10.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Pour un échiquier n x n on calcule le nombre de couples de cases adjacentes. Pour les cases du centres soit (n − 2)² chaque case contribue à 4 couples de cases adjacentes, pour les cases du bord hors les 4 coins soit 4.(n − 2) cases chaque case contribue à 3 couples et pour les 4 coins à 2.
On a donc au total ( 4. (n − 2)² + 3.4.(n − 2) + 8) /2 soit 2n.(n − 1) valeurs différentes de sommes de cases adjacentes. Les valeurs des sommes vont donc au minimum de 2 à 2n.(n − 1) + 1 et la plus grande des valeurs inscrite dans les cases de l’échiquier doit être au minimum n.(n − 1) + 1.
Dans le cas d’un carré 10x10 , la plus petite valeur maximale de case est donc 91. Ce remplissage est possible ainsi que le montre le tableau suivant. Les sommes de cases adjacentes sont données à droite et en dessous. La valeur de chaque case du tableau (en gras) est égale en fait à E((C+L)/2) +9.(C − 1) et plus généralement pour un tableau n x n à E((C+L)/2) +(n − 1).(C − 1)
C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L
1 1 10 20 29 39 48 58 67 77 86 11 30 49 68 87 106 125 144 163 2 1 11 20 30 39 49 58 68 77 87 12 31 50 69 88 107 126 145 164 3 2 11 21 30 40 49 59 68 78 87 13 32 51 70 89 108 127 146 165 4 2 12 21 31 40 50 59 69 78 88 14 33 52 71 90 109 128 147 166 5 3 12 22 31 41 50 60 69 79 88 15 34 53 72 91 110 129 148 167 6 3 13 22 32 41 51 60 70 79 89 16 35 54 73 92 111 130 149 168 7 4 13 23 32 42 51 61 70 80 89 17 36 55 74 93 112 131 150 169 8 4 14 23 33 42 52 61 71 80 90 18 37 56 75 94 113 132 151 170 9 5 14 24 33 43 52 62 71 81 90 19 38 57 76 95 114 133 152 171 10 5 15 24 34 43 53 62 72 81 91 20 39 58 77 96 115 134 153 172
2 21 40 59 78 97 116 135 154 173 3 22 41 60 79 98 117 136 155 174 4 23 42 61 80 99 118 137 156 175 5 24 43 62 81 100 119 138 157 176 6 25 44 63 82 101 120 139 158 177 7 26 45 64 83 102 121 140 159 178 8 27 46 65 84 103 122 141 160 179 9 28 47 66 85 104 123 142 161 180 10 29 48 67 86 105 124 143 162 181
