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Le plus grand nombre est donc ( n-1 )^2 + n soit n^2 – n +1

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Academic year: 2022

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E690. Savant remplissage

Les cases d'un échiquier de dimensions n x n contiennent des entiers strictement positifs pas nécessairement distincts.

Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ou verticaux, constitués de deux cases adjacentes sont toutes différentes.

Déterminer en fonction de n la plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier.

Application numérique: donner un exemple du remplissage d'un échiquier 10 x 10.

Si on peut trouver un mode de remplissage qui ne laisse pas de somme libre de 2 à 2n(n-1) +1 , on peut affirmer que la solution est optimale. 2 étant la somme minimale possible, et 2n(n-1) étant le nombre de dominos distincts dans un carré n x n.

Une solution simple consiste à remplir la première ligne en doublant chaque chiffre de 1 à n/2.

( on adaptera les bornes pour une grille de dimension impaire )

Puis , on remplit la seconde ligne sans doubler le premier des chiffres afin d'éviter le doublon verticalement, en commençant par n.

On incrémente ensuite en rajoutant à chaque fois ( 2n -1 ) toutes les 2 lignes.

Le plus grand nombre est donc ( n-1 )^2 + n soit n^2 – n +1

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