E690. Savant remplissage ***
Les cases d'un échiquier de dimensions n x n contiennent des entiers strictement positifs pas nécessairement distincts.
Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ou verticaux, constitués de deux cases adjacentes sont toutes différentes.
Déterminer en fonction de n la plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier.
Application numérique: donner un exemple du remplissage d'un échiquier 10 x 10.
Solution proposée par Jean Nicot
Il y a n-1 dominos sur une rangée de n cases. Dans l’échiquier n x n, il y a 2n rangées horizontales et verticales, donc 2n(n-1) dominos dont les plus petites valeurs vont de 2 à 2n(n-1)+1. La plus forte valeur 2n(n-1)+1 aura donc au mieux une case contenant la valeur n(n-1)+1 et sa voisine n(n-1).
91 90 90 89 89 88 88 87 87 86 81 81 80 80 79 79 78 78 77 77 72 71 71 70 70 69 69 68 68 67 62 62 61 61 60 60 59 59 58 58 53 52 52 51 51 50 50 49 49 48 43 43 42 42 41 41 40 40 39 39 34 33 33 32 32 31 31 30 30 29 24 24 23 23 22 22 21 21 20 20 15 14 14 13 13 12 12 11 11 10
5 5 4 4 3 3 2 2 1 1
Un exemple de remplissage d’une grille 10 x 10. La méthode utilisée peut s’appliquer à toutes les valeurs de n.
