E
690. Savant remplissage
Les cases d'un échiquier de dimensions n x n contiennent des entiers strictement positifs pas nécessairement distincts.
Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ou verticaux, constitués de deux cases adjacentes sont toutes différentes.
Déterminer en fonction de n la plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier.
Application numérique: donner un exemple du remplissage d'un échiquier 10 x 10.
1 1 2
3 4 4
6 6 7
Si n = 3, les 12 sommes sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
1 1 2 2
4 5 5 6
8 8 9 9
11 12 12 13
Si n = 4, les 24 sommes sont 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 25
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15
20 20 21 21 22 22 23 23 24 24
29 30 30 31 31 32 32 33 33 34
39 39 40 40 41 41 42 42 43 43
48 49 49 50 50 51 51 52 52 53
58 58 59 59 60 60 61 61 62 62
67 68 68 69 69 70 70 71 71 72
77 77 78 78 79 79 80 80 81 81
86 87 87 88 88 89 89 90 90 91
Si n = 10, les 180 sommes sont : tous les entiers de 2 à 181
Dans le cas général, le nombre de paires de cases adjacentes est 2*n*(n–1). On admet qu'on sait remplir de façon que les sommes aient pour valeurs tous les entiers de 2 à 2*n*(n–1) +1 , les deux derniers nombres écrits en bas à droite sont n*(n–1) et n*(n–1)+1.
La plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier n*n est : n²– n +1.
Le remplissage dans le cas général se fait comme suit :
a(1,1)=a(1,2)=1, a(1,3)=a(1,4)=2, … , a(1,n) = valeur entière de (n+1)/2 a(i+1,1) = a(i,1) + h , avec h qui vaut alternativement (n–1) et n.
Ayant rempli la première colonne,
on rempli chaque ligne : a(i,j+1) = a(i,j) + k avec k qui vaut alternativement 0 et 1.
