E690 ‒ Savant remplissage [*** à la main]
Les cases d'un échiquier de dimensions n x n contiennent des entiers strictement positifs pas nécessairement distincts.Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ou verticaux, constitués de deux cases adjacentes sont toutes différentes.
Déterminer en fonction de n la plus petite valeur possible du plus grand entier inscrit sur cet échiquier?
Application numérique: donner un exemple du remplissage d'un échiquier 10 x 10.
Solution proposée par Raymond Bloch
Les cases du carré central (n-2)2 appartiennent à 4 dominos, les cases de bordure
appartiennent à 3 dominos, et les 4 cases de coin à 2 dominos. Le nombre de dominos est donc
1/2 [4(n-2)2 + 4*3(n-2) + 4*2] = 2n(n-1) .
Les dominos doivent donc totaliser au minimum les valeurs consécutives 2, 3, …, 2n(n- 1)+1 : le plus grand nombre inscrit dans l’échiquier sera donc au minimum n(n-1) + 1.
Pour n=2, 3, 4, on construit les échiquiers selon le schéma suivant :
1 1 1 1 2 1 1 2 2
2 3 3 4 4 4 5 5 6
6 6 7 8 8 9 9
11 12 12 13
Pour n=10, le plus grand nombre à inscrire sera 91, selon la même structure que pour les petites valeurs de n :
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15
20 20 21 21 22 22 23 23 24 24
29 30 30 31 31 32 32 33 33 34
39 39 40 40 41 41 42 42 43 43
48 49 49 50 50 51 51 52 52 53
58 58 59 59 60 60 61 61 62 62
67 68 68 69 69 70 70 71 71 72
77 77 78 78 79 79 80 80 81 81
86 87 87 88 88 89 89 90 90 91
