Q2 : Résoudre en x, y et z entiers strictement positifs l’équation 3x - 5y = z2

(1)

A545. Puissances en duo et en trios

Q₁ : Trouver les deux entiers m et n strictement positifs qui minimisent l’écart en valeur absolue entre 47^m et 13ⁿ . Q₂ : Résoudre en x, y et z entiers strictement positifs l’équation 3^x- 5^y = z² .

Q₃ : Résoudre en p, q et r nombres premiers l’équation 7p³ – q³ = r⁶.

Solutions proposées par Gaston Parrour

Q₁ : Trouver les deux entiers m et n strictement positifs qui minimisent l’écart en valeur absolue entre 47^m et 13ⁿ .

Quelques remarques :

1 - la différence 47^m-13ⁿ est paire soit |47^m-13ⁿ| = 2N

2 - 47^m = +/-2N (mod13) et 13ⁿ = -/+2N (mod47) (les signes + et – se correspondent) 3 - 47⁰ = 1 47¹ = 8 (mod13) 47² = 12 (mod13) 47³ = 5 (mod13) 47⁴ = 1 (mod13) Soit 47^a = b où a = (0,1,2,3) mod4 et b = (1,8,12,5) = (-12,8,12,-8) mod13 (R1) ===> Avec cela, les « candidats 2N » en valeur absolue sont donc 8 et 12

4 - Enfin puisque 47 est premier le théorème de Fermat donne 13⁴⁶ = 1 mod47 et bien sûr 13⁰ = 1

Puisque que 46 = 2x23 on observe ici que 13² = 28 mod47 et que 13²³ = 46 = -1 mod47 Donc ici il y a 46 résidus r différents pour

13^a = r (mod47) avec a = (0,1,2,3, …, 45) mod46 (R2)

===> Choix de |2N| = 8 ou |2N| = 12

Puisque (13,47) = 1, l'identité de Bezout

47x – 13y = 1 (1) (résolue par la méthode de l'algorithme d'Euclide par exemple) fournit :

x = 5 y = 18 pour solution de base

(et donc x' = 5+13k y' = 18+47k , où k est un entier quelconque, est aussi une solution).

===> A partir de cela 12 est-il un candidat acceptable ? La relation (1) permet d'écrire :

47 (5+13k) 12 - 13(18+47k) 12 = 12 Soit encore

47 (8+k'13) - 13(28+k'47) = 12 avec k' = k+4 (2)

(2)

Donc avec 8 = 47 - 13K où u est un entier (relations R1 ci-dessus) et 28 = 13^2+46v -47K' où v est un entier (R2 ci-dessus)

====> on voit que si K = K' , 12 est un minimum acceptable Or 8 = 47 – K13 avec K = 3 (u=0)

28 = 13² - K'47 avec K' = 3 (v=0) On a donc à partir de la relation (2) :

47 x47 - 13 x 13² = 12 et m = 2 n =3 répondent à la question ===> Qu'en est-il pour |2N| =8 ?

On vérifie avec cette démarche que la valeur absolue 8 ne semble pas permise : impossible de trouver des exposants « u » et « v » qui donnent K = K'

En effet, à partir de la relation (1), on peut écrire :

47 x5 x8 - 13 x18 x 8 = 8 (3) Et puisque 40 = 1+3x13 et 18x8=144 = 3+ 3x47, l'équation (3) s'écrit :

47 (1) - 13 (3) = 8

En utilisant les relations R1 et R4, on a 47 ^4u =1 +k13 et 13 ^6+46v = 3 + k'47 , peut-on trouver u et v tels que k=k' ?

On voit que v=0 entraîne k' = 102698 et on vérifie qu'il n'y aucune valeur entière de u qui donne

( 47 ^4u -1 )/13 = (13⁶ -3)/47

En utilisant cette approche, aucun couple ne semble approprié pour réaliser |47^m-13ⁿ| = 8

===> Donc le seul couple retenu est (m,n) =(2,3) qui réalise |47^m-13ⁿ| = 12

Q₂ : Résoudre en x, y et z entiers strictement positifs l’équation 3 5^{x –} ^y = z ² .

Tout d'abord z² est pair et puisque c'est le carré d'un entier z, z=2z' Le développement à gauche de (2+1)^x – (4+1)^y = 4z'² conduit à 2^x + C

x

1 2^x-1 + … + C

x

x-1 2 - 4^y + C

y

14^y-1 + … + C

y

y-14 =4z'² ---

Le membre de gauche est divisible par 4 . Puisque la partie soulignée est divisible par 2 et par x (coefficients du binôme différents de 1) ,

(3)

===> x est divisible par 2 x=2x' (on retrouve aussi ceci avec 2^x est divisible par 4) Donc l'équation proposée peut s'écrire :

(3^x')² – (2z')² = 5^y

soit (3^x' + 2z') (3^x' – 2z') = 5^y

Puisque 5 est premier, si on pose y=y1 + y2, où un au moins des yi n'est pas nul, on obtient 3^x' + 2z' = 5^y1

3^x' – 2z '= 5^y2 Ce système conduit à y1 > y2 et

2 x 3^x'= 5^y1 + 5^y2 (1) 4z' = 5^y1 - 5^y2 (2)

Puisque 5^m = 1 (mod 4) pour tout m positif ou nul, l'équation (2) est toujours satisfaite.

Pour la résolution de (1)

1 – supposons y2 = 0 et donc y1=y

2x 3^x' = 5^y + 1 (3) Avec 2x 3¹ = 1 (mod 5) on a

(2x 3)^5(y-1) = 1 +k5^y

===> Pour satisfaire une équation du type (3) – sans préjuger de la valeur de k - , il faut qu'il existe un entier a < 5^y-1 tel que

2^5(y-1)-a = 2 et 2^ax 3^5(y-1) = 3 ^x'

Orla parité exige dans cette dernière relation que a = 0

Donc seul le cas a = 0 et donc y=1, et par conséquent x' = 1, est solution de l'équation (3) 2 – lorsque y2 > 0

2x 3^x' = 5^y1 + 5^y2 = K10

donc 3^x' = K5 cette équation est impossible car 3^x' et 5 sont premiers entre eux.

En conclusion, l'équation proposée est satisfaite pour l'unique triplet (x,y,z) suivant : ==> Avec x = 2x' = 2 , y = 1 et z² = 3² – 5 = 4 soit z = 2 : (x,y,z) = (2,1,2)

(4)

Q ₃ : Résoudre en p, q et r nombres premiers l’équation 7p ³ – q ³ = r ⁶ . Ceci peut s'écrire

7p³ = q³ + (r²)³ = (q+r²) ( q²-qr²+r⁴)

Puisqu'on n'a affaire qu'à des premiers dans le membre de gauche, on ne peut avoir que les 6 cas suivants contenant à chaque fois un système de deux équations:

cas 1 q+r² = 7 q²-qr²+r⁴ = p³ cas 2 q+r² = 7p q²-qr²+r⁴ = p² cas 3 q+r² = 7p² q²-qr²+r⁴ = p cas 4 q+r² = p

q²-qr²+r⁴ = 7p² cas 5 q+r² = p²

q²-qr²+r⁴ = 7p cas 6 q+r² = p³ q²-qr²+r⁴= 7

Les cas 1 et 6 donnent immédiatement (sachant que p,q et r sont des entiers) :

cas 1 : q+r² = 7 ==> q = 3 et r² = 4 MAIS alors q²-qr²+r⁴ = 13 n'est pas «p³»

cas 6 : q²-qr²+r⁴ = 7 conduit à q= 3 et r = 1 (seule solution avec q et r entiers premiers).

Mais alors q+r² = 4 ; et ceci n'est pas un « p³ » Il reste à examiner les cas 2, 3, 4, 5 :

cas 5 : q+r² = p²

q²-qr²+r⁴ = 7p

Cela fournit l'équation (1) ci-dessous par élimination de q : (q+r²)² – 3qr² = 7p

p⁴ – 3r²(p²-r²) -7p = 0 (1) Cette équation (1) peut être résolue par exemple « en r²=x » . Elle s'écrit alors :

(5)

3x² – 3p²x + p⁴-7p = 0 Son discriminant est delta = 3p(28-p³)

Tout d'abord il faut 28-p³ > -1 Ceci conduit à p < 4 , examinons p=1,2,3

p=1 ==> delta = 81 et la racine positive est x=r²=2 impossible p=2 ==> delta = 120 et il n'y a pas de racine entière

p=3 ==> delta = 9 et une des racines positives est x=r²=5, l'autre est x=r²=4 Cette dernière racine fournit r = 2 et , avec p = 3, q = 9-4 =5

===> Ce cas 5 fournit une solution p=3 q=5 r=2

===> De la même façon, on peut examiner les cas (2), (3), (4)

cas 2 q+r² = 7p

q²-qr²+r4 = p² Ces deux équations permettent d'écrire :

49p² = (q+r²)² = 49q²-49qr²+49r⁴ La dernière égalité fournit

48q²-51qr²+48r⁴ = 0 ou encore 16q² -17qr² +16r⁴ = 0 , soit donc 16(q-r²)² + 15qr² = 0 impossible avec q positif

cas 3 q+r² = 7p² q²-qr²+r⁴ = p

On peut ici, comme dans le cas 5 ci-dessus, éliminer q. L'équation du second degré résultante en x=r² est alors :

3x²-21p²x+49p⁴-p = 0 Le discriminant de cette équation est

delta = 441p⁴-12(49p⁴-p) = -147p⁴ +12p Ceci est toujours négatif avec p positif entier cas 4 q+r² = p

q²-qr²+r⁴ = 7p² L'élimination de q conduit ici à 7p²=7(q+r²)² = q²-qr²+r⁴ soit

6q² + 15qr² + 6r⁴= 0 impossible également avec q positif Par conséquent :

===> La SEULE solution acceptable avec les conditions de l'énoncé est donc celle liée au cas 5 p =3 q = 5 r = 2