A555 – Carrés en couples
Solution proposée par David Amar
Question 1. Les entiers strictement positifs p et q sont tels que les nombres 223p + 224q et 224p – 223q sont tous les deux des carrés parfaits strictement positifs. Trouver la valeur minimale du plus petit de ces deux carrés.
On cherche p et q ainsi que a et b tels que 223p+224q = a² et 224p-223q = b².
Si on résout ce système de 2 équations à 2 inconnues p et q, on trouve:
p = (223a²+224b²)/(223²+224²) q = (224a²-223b²)/(223²+224²)
Autrement dit, (223a²+224b²) et (224a²-223b²) sont tous deux divisibles par (223²+224²) = 99905 = 5*13*29*53
Plutôt que d’étudier les 99905² combinaisons possibles de a et b modulo 99905, on va regarder ça facteur par facteur.
Modulo 5, a peut avoir 5 valeurs, a² n'en a plus que 3 (0, 1 et 4); pareil pour b et b²; si on regarde pour quelles valeurs (223a²+224b²) et (224a²-223b²) sont multiples de 5 on trouve a=b=0 modulo 5.
On procède de la même manière pour 13, 29 et 53; avec toujours le même résultat. Il en ressort que a et b sont tous deux multiples de 5, 13 29 et 53 ; et donc de 99905
Comme a et b sont tous strictement positifs, leur plus petite valeur est donc 99905. p vaut alors 44657535 et q vaut 99905.
223*44657535 + 224*99905 = 99905² 224*44657535 - 223*99905 = 99905²
Le plus petit de ces carrés vaut donc 9981009025
Question 2. La séquence des entiers n strictement positifs est telle que les nombres 62n+1 et 63n+1 sont tous les deux des carrés parfaits. Trouver le plus grand commun diviseur de tous ces entiers n.
On cherche n, a et b qui vérifient les 2 équations suivantes 62n+1 = a²
63n+1 = b²
On remarque alors que 63a²-1 = 63*62*n+63-1 = 62(63n+1) = 62b² On cherche donc a et b tels que 63a²-62b² = 1
C’est une équation diophantienne du second degré. Pour la résoudre, il faut:
- déjà, faire en sorte que le premier terme soit un carré parfait; en la multipliant par
7 on obtient (21a)²-434b² = 7; on pose alors c = 21a pour avoir c² - 62b² = 7
- on trouve une solution particulière; ici vu que a=b=1 en était une (même si elle
n’est pas acceptée ensuite par l’énoncé car n vaut alors 0, c’est une solution de l’équation), du coup c=21 et b=1 iront très bien
- on cherche alors une "solution générale", c'est à dire telle que a²-434b² = 1. On la
trouve en faisant le calcul suivant:
Si c²-434b² = 7, alors :
(c²+434b²)² -434(2cb)² = (2c²-7)² -4c²(c²-7)
(c²+434b²)² -434(2cb)² = 4c^4-28c² + 49-4c^4+28c² (c²+434b²)² -434(2cb)² = 49
((c²+434b²)/7)² -434(2cb/7)² = 1
Autrement dit, si le couple (c,b) est une solution particulière, le couple (c0, b0) avec c0=(c²+434b²)/7 et b0=(2cb)/7 est une solution générale.
Ici, la solution générale est (125,6)
- on génère alors toutes les solutions grâce aux récurrences suivantes:
c' = 125c+434*6b b' = 125b+6c et donc a'=125a+124b b'=126a+125b
On élimine la première solution car c=21 et b=1 correspond à n=0. Les suivantes sont:
- a=(125*1+124*1) = 249; b=(126*1+125*1) = 251; et n = 1000
- a=(125*249+124*251) = 62249 et b=(126*249+125*251) = 62749; et n=62499000 etc...
Pour trouver n’ directement à partir de n, on remarque que a=sqrt(62n+1) et b=sqrt(63n+1);
donc a'=125*sqrt(62n+1)+124*sqrt(63n+1); et du coup:
n' = ((125*sqrt(62n+1)+124*sqrt(63n+1))²-1)/62, qu'on simplifie encore en:
n' = 31249*n + 500*sqrt(62n+1)sqrt(63n+1) + 500
Les premières valeurs de n sont donc 1000,62499000, 3906062502000, 244121094187498000, etc...
ex: 244121094187498000*62 + 1 = 3890438001² et 244121094187498000*63 + 1 = 3921687001²
NB (pour la beauté de la chose):
On peut généraliser ce résultat. Pour tout k, les nombres n tels que nk+1 et n(k+1)+1 sont des carrés parfaits sont définissables par récurrence de la manière suivante:
n = 0
n' = n(8k²+8k+1) + 4(2k+1)(1+sqrt(nk+1)sqrt(n(k+1)+1))
Répondons maintenant à la question :)
La première valeur de n est 1000. On peut montrer par récurrence que tous sont divisibles par 1000, qui sera alors le PGCD de toutes ces valeurs.
Si n est un multiple de 1000, alors n=1000k
n' = 31249*1000k + 500*sqrt(62n+1)sqrt(63n+1) + 500
Comme n est pair, 62n+1 est impair, 63n+1 aussi; leur racine l'est tout autant et leur produit pour finir est impair et peut donc s'écrire 2k'+1
n' vaut alors 31249*1000k + 500*(2k'+1) + 500 = 1000 ( 31249k + k'+1); n' est donc multiple de 1000
CQFD
NB (toujours pour la beauté de la chose):
On peut montrer comme plus haut que pour tout k, le PGCD est 8(2k+1), qui est par ailleurs égal à la première solution.
NB (pour finir en beauté):
On peut inverser la relation entre n et n’ pour obtenir la formule qui à partir d’une valeur de n nous donne la valeur précédente. Si on multiplie cette nouvelle formule avec la précédente ((c'est-à-dire qu’on calcule le produit de la valeur qui suit et de celle qui précède une solution donnée), on obtient un résultat remarquablement simple ; soient a, b, et c trois solutions successives avec a<b<c, on a : b(b-16k-8) = a*c
Ici, ça se traduit par b(b-1000) = a*c avec par exemple : 62499000 * 62498000 = 3906062502000 * 1000
Pour finir, la question bonus, qui n'est vraiment pas évidente: 770n+13 peut-il être premier?
Si on arrivait à factoriser ça, la réponse serait non. Comme aucune factorisation triviale ne marche, on peut essayer d'écrire ce nombre sous la forme d'une différence de deux carrés.
Par exemple on pourrait chercher x et y deux carrés tels que 770n+13 = xa² - yb² 770n+13 = xa²-yb²
770n+13 = x(62n+1)-y(63n+1) 770n+13 = n(62x-63y) + (x-y)
Si on identifie les termes en n et les autres termes, on a deux équations, et deux inconnues x et y :
62x-63y=770 x-y = 13
On trouve alors y=36 (chouette c'est un carré) et x=49 (encore un carré, parfait).
On remarque donc au final que 770n+13 = (7a)²-(6b)² = (7a-6b)(7a+6b).
Bien, mais il faut maintenant s'assurer que (7a-6b) et (7a+6b) sont supérieurs à 1.
Si 7a-6b = 1 alors 7a+6b = 770n+13; et dans ce cas:
14a = 770n+14 a = 55n+1 a² = (55n+1)²
62n+1 = 3025n² + 110n + 1 3025n²+48n = 0
Cette équation n'admet aucune solution entière strictement positive, donc 7a-6b est toujours différent de 1
Comme 7a+6b > 7a-6b >1; alors la décomposition trouvée plus haut est constituée de deux facteurs supérieurs à 1 et donc est valable.
Conclusion: aucune valeur de n ne vérifie 770n+13 premier; car 770n+13 est divisible par (7a-6b) et (7a+6b); qui sont tous deux supérieurs à 1.
