A542. Un quatuor cubique
Existe-t-il quatre entiers strictement positifs tels que la somme de leurs cubes soit égale à 10100 ?
Solution proposée par Patrick Gordon
Notons a b c d ces quatre entiers strictement positifs et P leur PGCD.
On a : a = a' P, etc. (a' b' c' d' premiers entre eux dans leur ensemble).
Avec ces notations, la condition a3 + b3 + c3 + d3 = 10100 s'écrit : (1) (a'3 + b'3 + c'3 + d'3) P3 = 10100
Donc P3 divise 1010. Mais alors P est de la forme 2x 5y, avec 3x ≤ 100, 3y ≤ 100.
La plus grande valeur de P compatible avec cette condition est P = 233 533 soit P3 =299 599. Cette valeur ne "laisse" que : 21 51 = 10 à l'expression (a'3 + b'3 + c'3 + d'3) dans l'égalité (1) et l'équation :
(2) (a'3 + b'3 + c'3 + d'3) = 10 n'a pas de solution entière en a' b' c' d'.
La "seconde plus grande" valeur possible de P est P = 232 533 soit P3 =296 599, qui ne "laisse"
que : 24 51 = 80 à l'expression (a'3 + b'3 + c'3 + d'3). L'équation (2) n'a toujours pas de solution entière en a' b' c' d'.
Vient ensuite P = 233 532 soit P3 =299 596. L'équation (2) s'écrit alors : (2) (a'3 + b'3 + c'3 + d'3) = 1.250
Cette fois il y a une solution car 1.250 est bien la somme des cubes de quatre nombres (dont on vérifie qu'ils sont bien premiers entre eux dans leur ensemble) :
(2) (13 + 23 + 83 + 93) = 1.250.
Il reste à multiplier a' b' c' d' par P = 233 532 c’est-à-dire par 2 1032.
Une solution est donc : 2 1032
4 1032 16 1032 18 1032
