A348 Dociles et rebelles
Un nombre entier N positif est appelé « docile » si on sait trouver deux entiers a et b positifs distincts (a > b) tels que a + b = N et la somme des chiffres de a est égale à celle de b. A contrario, l’entier N est dit « rebelle ».Par exemple, l’entier 11 est docile car 10 + 1 = 11 tandis que l’entier 10 est rebelle.
Q1 Prouver que l’entier 2014 est docile de multiples façons : 1) b est à 1 chiffre,
2) b est à 2 chiffres, 3) b est à 3 chiffres,
4) a et b sont des nombres premiers,
5) les chiffres de a et de b sont tous différents.
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers rebelles.
Q3 Trouver au moins 8 entiers rebelles pairs > 20.En existe-t-il plus de 9 ? Q11) 2014 = 2006 + 8
Q12) 2014 = 1916 + 98 Q13) 2014 = 1817 + 197 Q14) 2014 = 1367 + 647 Q15) 2014 = 1385 + 629
Q2) Quel que soit le nombre impair 2k+1, le nombre N formé par 2k+1 chiffres 9 est rebelle.
Explication :
si a et b sont presque égaux avec a+b =N : a=5000...0 et b= 4999 ...9,
on a (somme des chiffres de b) moins (somme des chiffres de a) = 18k+4 – 5 qui est impair.
Qu'observe-t-on chaque fois que a augmente de 1 tandis que b diminue de 1 ? Si le chiffre des unités de a n'est pas 9, celui de b n'est pas 0 de sorte que
(somme ch de b) diminue de 1 et (somme ch de a) augmente de 1 : la différence diminue de 2 et donc reste impaire.
Et quand a se termine par x chiffres 9 et b par x chiffres 0, (somme ch de a) diminue de 9x-1, tandis que (somme ch de b) augmente d'autant : la différence augmente de 18x – 2 donc reste impaire.
(somme des chiffres de b) moins (somme des chiffres de a) est toujours impaire donc jamais nulle.
Tous les nombres formés par un nombre impair de chiffres 9 sont rebelles : il existe une infinité d'entiers rebelles.
Q3) Les 8 nombres 38, 40, 58, 60, 78, 80, 98, 100 sont pairs, rebelles, et supérieurs à 20.
On prétend prouver que tout nombre pair strictement supérieur à 100 est docile.
10,12,14,16,18,20,29,38,40,49,58,60,69,78,80,89,98 sont les rebelles de l'intervalle [10, 99].
Les dociles du même intervalle sont indiqués ci dessous avec l'une des décompositions acceptables.
c 11 13 15 17 19 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35 36
a 10 11 12 13 14 15 20 16 21 17 22 18 23 24 20 25 30 26 31 27
b 1 2 3 4 5 6 2 7 3 8 4 9 5 6 11 7 3 8 4 9
c 37 39 41 42 43 44 45 46 47 48 50 51 52 53 54 55 56 57 59 61
a 25 26 25 30 26 31 27 32 28 33 34 30 35 31 36 32 37 33 34 35
b 7 8 16 12 17 13 18 14 19 15 16 21 17 22 18 23 19 24 25 26
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c 62 63 64 65 66 67 68 70 71 72 73 74 75 76 77 79 81 82 83 84 85 86 87 88 90 a 40 36 41 37 42 38 43 44 40 45 41 46 42 47 43 44 45 50 46 51 47 52 48 53 54 b 22 27 23 28 24 29 25 26 31 27 32 28 33 29 34 35 36 32 37 33 38 34 39 35 36 c 91 92 93 94 95 96 97 99
a 50 55 51 56 52 57 53 54 b 41 37 42 38 43 39 44 45
Soit un nombre pair N est de la forme 10n.c + u avec c nombre docile de 2 chiffres et u < 10n. Les tableaux précédents définissent a et b tels que c=a+b.
Les nombres N1 = 10n.a + u /2 et N2 = 10n.b + u/2
vérifient : somme des chiffres de N1 = somme des chiffres de N2 . Donc un tel nombre N est docile .
Soit un nombre pair N est de la forme 10n.c' + u avec c' nombre rebelle de 2 chiffres, c' > 10 , et u < 10n.
On vérifie que c = c' – 1 est docile, les tableaux précédents définissent a et b tels que c=a+b, 10*c' = 10*(c+1) = (10*a+5) + (10*b+5)
N = 10n.c' + u = (10n.a + 5.10n-1+ u/2) + (10n.b + 5.10n-1+ u/2) On a u/2 < 5. 10n-1, donc 5.10n-1+ u/2 < 10n .
Somme des chiffres de (10n.a + 5.10n-1+ u/2) = Somme des chiffres de (10n.b + 5.10n-1+ u/2) . Un tel nombre N est docile .
Seule reste à étudier la docilité des nombres pairs commençant à gauche par 10 et supérieurs à 100.
Pour cela, encore un petit tableau :
101 102 103 104 105 106 107 108 109
a 55 60 56 61 57 62 58 63 104
b 46 42 47 43 48 44 49 45 5
Les nombres pairs de 3 chiffres : 102, 104, 106, 108 sont dociles.
Soit un nombre pair N est de la forme 10n.c + u avec c dans {101, 102,..,109} et u < 10n. Le tableau précédent définit a et b tels que c=a+b.
Les nombres N1 = 10n.a + u /2 et N2 = 10n.b + u/2
vérifient : somme des chiffres de N1 = somme des chiffres de N2 . Donc un tel nombre N est docile .
Pour les nombres pairs d'au moins 4 chiffres commençant à gauche par 100, un nouveau tableau :
1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009
a 509 541 510 542 511 543 512 544 513 545
b 491 460 492 461 493 462 494 463 495 464
Les nombres pairs de 4 chiffres : 1000, 1002, 1004, 1006, 1008 sont dociles.
Soit un nombre pair N est de la forme 10n.c + u avec c dans {1000, 1001,..,1009} et u < 10n. Le tableau précédent définit a et b tels que c=a+b.
Les nombres N1 = 10n.a + u /2 et N2 = 10n.b + u/2
vérifient : somme des chiffres de N1 = somme des chiffres de N2 .Donc un tel nombre N est docile.
Tous les nombres pairs supérieurs à 100 ont été passés en revue et sont dociles. Il n'existe que 8 entiers rebelles supérieurs à 20. Page 2 / 3
Quelques exemples :
76142896 76 est docile.
76=47+29 1422896/2 = 071448 76142896 = 47071448 +29071448 78942896 78 est rebelle.
780=435 + 345 942896/2 = 471448 78942896 = 43971448 + 34971448 10786724 10 est rebelle mais 107 est docile.
107=58+49 86724/2 = 43362 10786724 = 5843362 +4943362 100536718 100 est rebelle mais 1005 est docile.
1005=543+462 36718/2 = 18359 100536718 = 54318359 +46218359
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![Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur [a; b] et](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)