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A50521. Cubes empilés Démontrer que la somme des cubes des entiers de 1 à

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Academic year: 2022

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A50521. Cubes empilés

Démontrer que la somme des cubes des entiers de 1 à n inclus est le carré de la somme des entiers de 1 àn.

Solution

Pour ce résultat très classique, voici une preuve graphique. Le carré A de côté n(n−1)/2 est bordé des rectangles B et C, larges de n et longs de n(n−1)/2, et complété par le carré D de côténpour former un grand carré de côtén(n+ 1)/2.

Sinest impair, B et C contiennent chacun (n−1)/2 carrés égaux à D. Sin est pair, ils contiennent chacunn/2−1 carrés et un demi-carré de côtén. Au total, la bande CDB contient l’équivalent de n carrés égaux à D et ajoute une aire n3 à A. C’est ainsi qu’en partant d’un carré unité, et en ajoutant 2, 3, . . .,nau côté, on obtient bien la somme des cubes de 1 à n3.

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