A4931. L'entier et son double mime ***
Déterminer le plus petit entier M tel qu’il existe une première suite de n entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal à M et une deuxième suite de 2n entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal à 2M.
PROPOSITION Thérèse Eveilleau
La suite des entiers considérés va de m² à (m+n)²
La somme des k premiers carrés d’entiers consécutifs est k(k+1)(2k+1)/6
La somme des entiers consécutifs de m jusqu’à n est : k(k+1)(2k+1)/6 - (m-1)(m)(2m-1)/6 On prend les entiers consécutifs de m à m+n.
Comme on a n entiers consécutifs, nous avons k = m+n-1 ; La somme des carrés de ces n termes en partant de m est :
m² + (m+1)² +... +(m+n-1)² = (n+m-1)(n+m)(2(m+n)-1)/6 - (m-1)m(2m-1)/6 ---
On a une suite gagnante avec 12 termes consécutifs :
13²+14²+15²+16²+17²+18²+19²+20²+21²+22²+23²+24² = 4250 PUIS avec 24 termes consécutifs
6²+7²+8²+9²+101²+11²+12²+13²+14²+15²+16²+17²+18²+19²+20²+21²+22²+23²+24²+25²+26²+27²+28²+29²= 8500 M=4250
