G241 – La grille aux 2010 carrés
Je dénombre 2010 carrés à l’intérieur d’une grille quadrillée rectangulaire de dimensions a et b, entiers naturels tels que a > b 2. Les nœuds du quadrillage sont confondus avec les points de coordonnées entières. Les bords des carrés reposent sur le quadrillage et peuvent se
chevaucher comme le montre à titre d’exemple la grille (10,5) ci-après :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5
Quelles sont les dimensions de la grille ? Solution proposée par Patrick Gordon Une grille a × b comporte :
ab carrés de côté 1
(a – 1) (b – 1) carrés de côté 2
…
[a – (b – 1)] [b – (b – 1)] carrés de côté b.
En faisant la somme, on obtient :
le terme ab, b fois
le terme – (a + b) multiplié par la somme des entiers de 1 à (b – 1)
la somme des carrés de entiers de 1² à (b – 1)².
Le nombre total de carrés vaut donc :
b (ab) – (a + b) (b – 1) b / 2 + (b – 1) b (b + 1) / 6 Soit en simplifiant :
b (3ab + 3a – b² + 1) / 6
Puisque cette somme est égale à 2010, c'est que b divise 2010 × 6 = 12.060 = 2² ×3² × 5 × 67.
En reportant chaque valeur possible de b dans le quotient (3ab + 3a – b² + 1), qui doit être égal à 12.060 / b, on ne trouve une solution en a (entier b 2, par hypothèse) que pour :
a = 202 b = 4.
