G241. La grille aux 2010 carrés
Je dénombre 2010 carrés à l’intérieur d’une grille quadrillée rectangulaire de dimensions aetb, entiers naturels tels quea>b>2. Les nœuds du quadrillage sont confondus avec les points de coordonnées entières. Les bords des carrés reposent sur le quadrillage et peuvent se chevaucher comme le montre à titre d’exemple la grille (10, 5) ci-après :
Quelles sont les dimensions de la grille ?
Solution de Claude Felloneau
Tout carré de coték est défini de façon unique par la donnée de son sommet S en haut et à gauche qui a pour coordonnées (x, y) avec
06x6a−ket 06y6a−k. Il y a donc exactement (a−k+1)(b−k+1) carrés de côtésk. Le nombre total de carrés est donc
N= Xb k=1
(a−k+1)(b−k+1)= Xb i=1
(a−b+i)i=(a−b) Xb i=1
i+ Xb i=1
i2
DoncN=(a−b)b(b+1)
2 +b(b+1)(2b+1)
6 =b(b+1)(3a−b+1)
6 .
On a doncb(b+1)(3a−b+1)=6×2010=12060=22×32×5×67.
L’entier 2060 a donc 3×3×2×2=36 diviseurs. Commebetb+1 divisent 12060 et sont consécutifs, les seules possibilités pourbsont 2, 3, 4, 5.
– Sib=2, on obtient 3a=2011, ce qui est impossible car 2009 n’est divisible par 3.
– Sib=3, on obtient 3a=1007, ce qui est impossible car 1007 n’est divisible par 3.
– Sib=4, on obtient 3a=606, soita=202.
– Sib=5, on obtient 3a=406, ce qui est impossible car 406 n’est divisible par 3.
Les dimensions de la grille sont donc 202 et 4.
