Problème E647 – Note de Jean Drabbe
Théorème – Pour tout naturel k , il existe un cercle du plan qui contient en son intérieur exactement k points intègres.
Une démonstration particulièrement élégante de ce résultat est donnée dans [2] (chapitre 11). L'auteur signale une amélioration due à
Steinhaus :
Pour tout naturel k , il est un cercle dont l'aire est k et qui contient en son intérieur exactement k points intègres.
Je n'ai pas pu déterminer la publication dans laquelle Steinhaus a établi ce résultat. Un lecteur peut-il l'indiquer ?
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Notons R(n) le nombre de points intègres du plan dont la somme des carrés des coordonnées est n ,
T(n) = R(0) + R(1) + ... + R(n) . GAUSS a montré que
T(n) = 1 + 4 • ( [n/1] – [n/3] + [n/5] – [n/7] + ... ) où [t] désigne la partie entière de t .
L'utilisation de cette expression ne pose évidemment aucun problème aux ordinateurs. Une formule plus efficace a cependant été donnée par SIERPINSKI. Des détails sont fournis dans [4] (chapitre 4).
Le calcul montre que
T(636) = 2001 T(637) = 2009 T(638) = 2009 T(639) = 2009 T(640) = 2017 T(641) = 2025
En vertu d'un théorème dû à Fermat (voir [5], page 179), 637 est somme des carrés de deux entiers, mais 638 et 639 ne le sont pas.
Le théorème de Jacobi (voir, par exemple, [1] ou [3]) sur le nombre de représentations d'un entier comme somme de deux carrés montre qu'il existe exactement 8 points intègres du plan dont la somme des
coordonnées est 640.
On déduit immédiatement que les valeurs possibles de n sont :
638 639 640
BIBLIOGRAPHIE
[1] HIRSCHHORN,M. A Simple Proof of Jacobi's Two-Square Theorem, American Mathematical Monthly,
Vol 92, No 8 (Oct. 1985), pp. 579-580.
[2] HONSBERGER,R. Mathematical Gems from Elementary
Combinatorics, Number Theory, and Geometry, Vol 1, The Mathematical Association of America (1973).
[3] MOREAU DE SAINT MARTIN,J. Sommes de deux carrés, Diophante, Les solutions de décembre 2008.
[4] OLDS,C. The Geometry of Numbers, The Mathematical Association of America (2000).
[5] RIBENBOIM,P. L'Arithmétique des Corps, Hermann (Paris – 1972).
