Enoncé A558 (Diophante)
La saga de la somme des carrés (1er épisode)
Q1 : Combien existe-t-il de suites de 49 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait ?
Q2 : Peut-on trouver 61 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Soientm−24, m−23, . . . , m+ 24 les 49 entiers.
Comme (m−i)2+ (m+i)2 = 2(m2+i2), la somme des carrés est 49m2+ 2(12+ 22+. . .+ 242) = 49m2+ 2·4900,
car il est bien connu (problème de la pyramide de boulets à base carrée d’Edouard Lucas) que la somme des carrés de 1 à 24 est le carré 4900.
Par hypothèse la somme des 49 carrés est un carré parfait b2= 49(m2+ 200).
bdoit être multiple de 7, soit b= 7c et 200 =c2−m2 = (c+m)(c−m), produit de deux facteurs de même parité.
Les factorisations de 200 en deux facteurs de même parité sont 2·100, 4·50 et 10·20.
Les valeurs possibles de m sont la demi-différence des facteurs, soit ±49,
±23 et ±5.
La seule solution avec 49 entiers positifs, dem−24 àm+ 24, est donnée par m = 49 ; les entiers vont de 25 à 73. Sans cette exigence, les autres valeurs demdonnent 5 suites comprenant au moins un terme négatif.
Question 2
De la même façon, les 61 entiers allant dem−30 àm+ 30, la somme des carrés est
61m2+ 2(12+ 22+. . .+ 302) = 61m2+ 2·9455 = 61(m2+ 310).
61 est premier et diviseb. Ainsi b= 61cet 310 = 61c2−m2.
c et m doivent être de même parité, car 310 est pair. Qu’ils soient tous deux pairs ou tous deux impairs, 61c2−m2 est multiple de 4 et ne peut pas valoir 310.
La réponse à cette question est donc négative.
