Enoncé A559 (Diophante)
La saga de la somme des carrés (2ème épisode)
Q1 : Combien existe-t-il d’entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs puisse être un carré parfait ?
Q2 : Combien existe-t-il d’entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs ne soit jamais un carré parfait ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La réponse est : une infinité, dans les deux cas, bien que je ne puisse pas donner de liste exhaustive.
La somme des carrés de nentiers, de a+ 1 àa+n, est n(2n2+ 3n(2a+ 1) + 6a2+ 6a+ 1)/6.
Si la somme des ncarrés estb2, on a (n2−1)/3 = 4b2/n−(2a+n+ 1)2 Question 1
• Prenons pour n un carré premier avec 6 : n= (6m+e)2 avec e=±1.
Alors (n2−1)/3 est entier, 4b2/nest entier et carré d’un rationnel, donc carré et pair, de même que (2a+n+ 1)2.
(n2−1)/3 = 8m(3m+e)(18m2+6me+1) peut se décomposer en produit de deux facteurs pairs ; alors 2a+n+ 1 est la demi-différence de ces facteurs ; d’où une solution (il peut y en avoir d’autres) en prenant 4 comme petit facteur
a= 27m4+ 18m3e−27m2/2−11me/2−2 = (n2−24n−73)/48.
Les nentiers vont de
a+ 1 = (n+ 1)(n−25)/48 àa+n= (n+ 1)(n+ 23)/48−2.
Cela donne une famille infinie de valeurs den= (6m+e)2; pourm=e= 1 n= 49 (cf. problème A558) ; pour m =−e= 1, n= 25 et a=−1, les 25 entiers vont de 0 à 24.
•Certaines valeurs den non carrées conviennent aussi : 2 (entiers 3 et 4, par exemple), 24 (entiers 1 à 24), 33 (entiers 60 à 92), 50 (entiers 28 à 77) et les nombres de la forme 12m−1, dont les diviseurs premiers sont de la même forme ou 12m+ 1 : 11 (entiers 18 à 28), et 11 + 48u, sans diviseur 12m±5, par exemple 59 (105 à 163) ; 23 (17 à 39), et 23 + 192v, sans diviseur 12m±5, par exemple 599 (2927 à 3525) ; 47 (539 à 585), et 48(u2+v2)−1, par exemple 239 (775 à 1013) ; etc.
Les nombres premiers de la forme 11 + 48u ou 23 + 192v, qui forment un ensemble infini (théorème de Dirichlet), donnent donc aussi une famille infinie de valeurs dentelles qu’il existenentiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré.
• Sinest multiple de 3, 3 divise aussi n2+ 3(2a+n+ 1)2 = 1 + 12b2/n.
Il faut quen soit le produit de 3 à une puissance impaire et d’un facteur 3m−1, soit n = 9k(9m −3) (exemple n = 33). mais cette condition nécessaire n’est pas suffisante (exemplen= 6).
Question 2
•Prenons pour nun carré de la formen= (6m+ 2e)2, avecm impair et e=±1.
(n2−1)/3 a pour reste 5 modulo 8 ; ajouté au carré impair (2a+n+ 1)2, on obtient un reste 6 modulo 8, qui ne peut pas être celui du carré 4b2/n.
•Prenons pournun nombre premier n= 12m±5. Alorsndiviseb=nc, et la relation devient
n(12c2−4n−6−12a) = 3(2a+ 1)2−1.
3 devrait être résidu quadratique modulo n, ce qui n’est pas vérifié pour une telle valeur de n.
Cette impossibilité s’étend à toutnayant un diviseur premier de la forme 12m±5, avec un exposant impair.
•Prenonsn= 9k(3m±1) oun= 9k(9m+ 3), avec m, k≥1. Cela viole la condition vue à la question 1 pour lesnmultiples de 3.
On voit donc plusieurs familles infinies de valeurs de n telles qu’aucune somme des carrés denentiers consécutifs n’est un carré parfait.
