Enoncé A560 (Diophante)
La saga de la somme des carrés (3ème épisode)
L’entier nétant donné, dans quels cas existe-t-il une quantité nulle, finie non nulle ou infinie de suites de n entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soienta+ 1, a+ 2, . . . , a+netbles racines desncarrés et de leur somme.
La sommation classique des k premiers carrés parfaits conduit à b2=n(2n2+ 3n(2a+ 1) + 6a2+ 6a+ 1)/6
ou encore (n2−1)/3 = 4b2/n−(n+ 2a+ 1)2
1) Supposons n carré parfait, n = c2. Pour qu’il y ait solution, il faut que 2b/c soit entier, sinon le second membre serait un rationnel avec un dénominateur carré, ce qui n’est pas le cas du premier membre. Il faut que c soit non multiple de 3, pour que le premier membre soit entier commme le second.
Alors (n2−1)/3 = (2b/c+n+ 2a+ 1)(2b/c−n−2a−1).
Le paramètre a qui caractérise les suites de n carrés est entier, il faut donc que (n2−1)/3 se factorise en produit de deux facteurs de différence 4a+ 2n+ 2, multiple de 4 si nest impair, paire non multiple de 4 sinon.
Quand c’est possible, c’est d’un nombre fini de façons.
On a vu, à propos du problème A559, que le cas n impair, c = 6m+e (mentier, e=±1) donnait toujours une solution au moins. Le casnpair, c = 6m+ 2e, donne pour (n2−1)/3 un reste 5 modulo 8, qui ajouté au reste 1 du carré impair (n+ 2a+ 1)2 donne un reste 6 qui n’est pas celui du carré (2b/c)2, donc pas de solution. Pas de solution non plus quand 3 divisen.
Ainsi quand n = c2 est carré, le nombre de suites est fini non nul si c= 6m±1, nul dans les autres cas.
2) Sinn’est pas un carré parfait, soitc2le plus grand carré parfait divisant n=dc2, avecd >1. Si 3 ne divise pasd, il faut que 2b/(cd) =fentier, puis cnon multiple de 3, pour les mêmes raisons qu’au paragraphe précédent.
Il faut alors satisfaire (2a+n+ 1)2=df2−(n2−1)/3, équation du genre de l’équation de Fermat. On sait que si elle a une solution, elle en a une infinité. Un critère de possibilité est que 3 soit résidu quadratique modulo d, c’est à dire que les facteurs premiers impairs de d soient de la forme 12k±1. Mais je ne sais pas dire si cette condition nécessaire est suffisante.
Si maintenant 3 divise d = 3g, il faut alors 2b = cgf, l’équation devient gf2−3(2a+n+ 1)2= (n2−1), exigeant g= 2 modulo 3. Cette équation est aussi du genre Fermat, avec une infinité de solutions s’il en existe.
Ainsi quandnn’est pas carré, le nombre de suites est soit nul soit infini. La difficulté est de délimiter les valeurs denpour chacun de ces résultats. S’il est possible d’affirmer que le nombre est nul quand le critère de Legendre exclut l’existence de solutions, même avecf etarationnels non entiers, ou quand on peut constater une impossibilité modulo 8, une réponse positive au critère de Legendre ne garantit pas l’existence de solutionsa entières.
On n’a pas alors de certitude, mais seulement une présomption à confirmer par une étude particulière dans chaque cas.
Rappelons les résultats déjà évoqués à propos du problème A559, pourn non carré :
– aucune suite si n a un diviseur premier de la forme 12m±5, avec un exposant impair ; aucune suite si n= 9k(3m±1) ou n= 9k(9m+ 3) – présomption d’existence (et donc de nombre infini de suites) si n est impair sans diviseur 12m±5, de la forme 11+48u, 23+192v, 48(u2+v2)−1 ; ou encore sin= 9k(9m−3).
