Enonc´e noA532 (Diophante) Le d´efi de l’empereur
En 1225 Leonardo Fibonacci a relev´e le d´efi lanc´e par Fr´ed´eric II de Ho- henstaufen roi de Sicile et empereur germanique, en trouvant le plus petit nombre rationnel dont le carr´e qu’il soit augment´e de 5 ou diminu´e de 5 reste le carr´e d’un nombre rationnel. R´esoudre le mˆeme probl`eme avec un incr´ement/d´ecr´ement ´egal `a 2009. Le probl`eme a-t-il une solution avec un incr´ement/d´ecr´ement ´egal `a 2010 ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit d = 2009 la raison de la progression arithm´etique de trois carr´es rationnels a2, b2, c2 : le carr´e b2 reste un carr´e quand on l’augmente ou on le diminue de d.
Comme 4b2= (a+c)2+ (a−c)2, on a l’´egalit´e entre rationnels positifs 2b−a+c
a+c = a+c
2b+a−c = m n
m/n ´etant l’´ecriture comme fraction irr´eductible avecm etn entiers pre- miers entre eux.
Soit r (rationnel) la valeur commune des rapports a+c
2mn = 2b−a+c
2m2 = 2b+a−c
2n2 = c−a
m2−n2 = 2b
m2+n2 =r On en tire d= (c2−a2)/2 =r2mn(m2−n2).
Si m etn ´etaient tous deux impairs, m =p+q et n=p−q avec p et q premiers entre eux et de parit´e contraire, amenant `ad= (2r)2pq(p2−q2).
On peut donc raisonner dans tous les cas comme si met nsont de parit´e contraire.
Commed= 2009 = 41·72, on a (287/r)2 = 41mn(m2−n2).
Le second membre est un entier carr´e d’un rationnel, sa racine carr´ee ne peut ˆetre qu’un entier. Dans le produit mn(m−n)(m+n), les 4 facteurs
sont deux `a deux premiers entre eux. L’un est multiple de 41, produit de 41 par un carr´e, les trois autres sont des carr´es.
On peut voir que 41 = 52+ 42, et 52−42 = 32. Ainsi, en prenant m= 52, n= 42, on obtient 41mn(m2−n2) = (2460)2.
Ensuiter= 287/2460 = 7/60, 2b= (54+ 44)7/60,a+c= 2·52·42·7/60, c−a= (54−44)7/60, et finalement
a= 3017/120, b= 6167/120, c= 8183/120.
(6167/120)2= 38031889/14400 est un carr´e rationnel qui reste carr´e quand on lui ajoute ou on lui retranche 2009.
La variante avecd= 2010 conduit, par le mˆeme raisonnement, `a chercher met nentiers premiers entre eux et de parit´e contraire, tels que
2010·mn(m2−n2) soit q2, le carr´e d’un entier.
Alors 2010 serait l’aire d’un triangle rectangle `a cˆot´es rationnels
4020mn/q, 2010(m2 −n2)/q, 2010(m2 +n2)/q, et donc 2010 serait un
“nombre congruent”.
Mais le crit`ere de Tunnell (voir en annexe) montre que 2010 n’est pas congruent ; on en conclut que le probl`eme n’est pas possible avecd= 2010.
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Th´eor`eme de Tunnell
Soit nun entier naturel non divisible par un carr´e. Soit l’ellipso¨ıdeEn
– d’´equation n= 2x2+y2+ 8z2 sinest impair, – d’´equation n= 8x2+ 2y2+ 16z2 sin est pair.
Le crit`ere de Tunnell consiste en : les points `a coordonn´ees enti`eres deEn
ayantzpair et ceux ayantzimpair sont en nombre ´egal. On pourrait aussi l’´ecrire : sur l’ensemble des points entiers deEn,P(−1)z = 0.
Le th´eor`eme ´enonce :
– si n est un nombre congruent (aire d’un triangle rectangle `a cˆot´es ra- tionnels), alors le crit`ere est v´erifi´e ;
– si le crit`ere est v´erifi´e, et sous r´eserve que la conjecture de Birch–
Swinnerton-Dyer soit vraie (dans une forme faible), alors nest congruent.
Application `a n= 2010
Si 1005 = 3·5·67 = 4x2 +y2+ 8z2, xyz 6= 0 car −2 n’est pas r´esidu quadratique modulo 5 ni modulo 67, et −1 n’est pas r´esidu quadratique modulo 3 ni modulo 67. Ainsi le nombre des points entiers sur E2010 est 8 fois le nombre des points `a coordonn´ees >0.
A z donn´e, le nombre des points ayant x et y entiers > 0 est le nombre f(m) de d´ecompositions dem= 1005−8z2 de la forme 4x2+y2.
On dresse ainsi les tableaux
z m= 1005−8z2 (x, y) f(m)
1 997 (3,31) 1
3 933 = 3·311 ∅ 0
5 805 = 5·7·23 ∅ 0
7 613 (9,17) 1
9 357 = 3·7·17 ∅ 0
11 37 (3,1) 1
z m= 1005−8z2 (x, y) f(m)
2 973 = 7·139 ∅ 0
4 877 (3,29) 1
6 717 = 3·239 ∅ 0
8 493 = 17·29 (11,9); (9,13) 2 10 205 = 5·41 (7,9); (3,13) 2
Il en ressort, surE2010, 40 points entiers `az pair pour 24 points entiers `a zimpair, le crit`ere de Tunnell n’est pas satisfait par n= 2010.
Il r´esulte du th´eor`eme que 2010 ne peut pas ˆetre congruent.
Application `a n= 41 (pourd= 2009 = 41·72)
On d´enombre de mˆeme les d´ecompositions de m = 41−8z2 en sommes 2x2+y2, soitg(m). Icixyzpeut s’annuler, aussi prenons-nousx, y, z∈Z.
z m= 41−8z2 (x, y) g(m)
0 41 (±4,±3) 4
±2 9 (0,±3); (±2,±1) 6
±1 33 = 3·11 (±2,±5); (±4,±1) 8
Lesg(m) autres que g(41) sont `a doubler pour le double signe de z; on a ainsi sur E41 16 points entiers `a z pair pour 16 points entiers `a z impair, le crit`ere de Tunnell est satisfait par n= 41.
On peut voir que 41 est effectivement congruent : c’est l’aire du triangle rectangle de cˆot´es 40/3, 123/20, 881/60.
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