A532. Le défi de l'empereur
En 1225 Leonardo Fibonacci a relevé le défi lancé par Frédéric II de Hohenstaufen roi de Sicile et empereur germanique, en trouvant le plus petit nombre rationnel dont le carré qu'il soit augmenté de 5 ou diminué de 5 reste le carré d'un nombre rationnel. Résoudre le même problème avec un incrément/décrément égal à 2009. Le problème a- t-il une solution avec un incrément/décrément égal à 2010 ?
Eléments de solution
Proposés par Fabien Gigante
Appelons l’incrément/décrément. On cherche à résoudre dans le système :
et (1)
On pose , puis on fait la somme et la différence des équations. Le système devient :
et (2)
Autrement dit, est l’aire d’un triangle rectangle de côtés rationnels.
Les solutions rationnelles de sont connues. Notons le dénominateur commun à , et . On pose . On est alors amené à résoudre dans le système :
(3)
Considérons . On remarque que et .
Il suffit alors de poser et pour obtenir une solution de (3).
On obtient alors qui vérifie bien les conditions de l’énoncé avec et .
On établit que si est solution de (1), alors est aussi solution.
Autrement dit, si est solution, alors , et plus généralement est solution.
En particulier est une solution rationnelle plus petite.
Par ailleurs, on peut montrer que le système (2) est équivalent à :
(4)
En effet, on vérifie aisément que si est solution de (3) alors est solution de (4) et, réciproquement, que si est solution de (4) alors est solution de (3).
L’équation (4) est celle d’une courbe elliptique dont la théorie est connue. Les solutions rationnelles forment une structure de groupe.
Pour , la courbe est de rang 2 et le groupe des solutions rationnelles est isomorphe à . Pour , le courbe est de rang 0 et l’équation n’a pas de solutions rationnelles.
